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翔宇沙龙

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《从混沌到有序》8

2006-09-18 23:06:58|  分类: 翔宇沙龙 |  标签: |举报 |字号 订阅

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第3编 从存在到演化

7重新发现时间

  7.1重点的改变
  怀特海写过:“几种学说的交锋并不是一场灾难,而是一个好机会。”假如这个论断是对的,那末科学史中如此充满希望的机会是很少的:两个世界(动力学的世界和热力学的世界)面对面地走到一起。
  牛顿科学是一种成果,是对几个世纪的实验及理论研究路线集中的登峰造极的综合。对热力学来说,同样是如此。科学的成长和科学学科的均匀展开是完全不同的。每个学科本身又分成数目不断增多的一些“滴水不漏”的部分。正好相反,不同问题和观点的集中可能打开这些部分,并激励科学的开化。这些转折点具有超出其科学意义并影响整个知识界的结果。反过来,全局性的问题往往是鼓舞科学的源泉。
  几种学说的交锋,存在和演化之间的冲突,指出了一个新的转折点已经来临,指出了一种新的综合是必要的。今天,这样的综合正在成形,它的每一点都和先前的综合一样地出人意外。我们又一次发现研究的惊人集中,全部研究都对指出科学理论的牛顿概念中所固有的困难作出贡献。
  牛顿科学的雄心是要提供一个自然图景,该图景将是普适的,决定论的,并且是客观的(因为它不涉及观察者),完备的(因为它达到摆脱了时间束缚的描述水平)。
  我们已经接触到问题的核心。“什么是时间?”我们一定要接受在经典物理学的静态时间和我们在生活中经历的存在时间之间自康德以来已经成为传统的对立吗?按照卡尔纳普(Carnap)的说法:
  爱因斯坦有一次说过,“现在”的问题使他十分烦恼。他解释道,“现在”的经验意味着某种对人来说是特殊的东西,某种在实质上不同于过去和未来的东西,但是这个重要的差别没有也不可能发生在物理学中。这个经验不能被科学所抓住,这对他来说是一件痛苦而又无法避免的憾事。我认为,一切客观上发生的东西都能在科学中得到描述;一方面,物理学中描述了事件的时间序列;另一方面,人类对于时间的经验的特殊性,包括人类对待过去、现在和未来的不同态度,可以在心理学中得到描述和(原则上的)解释。但爱因斯坦却想,这些科学的描述不可能满足人类的需要;有某些关于“现在”的本质东西刚好是在科学王国之外。
  值得注意的是,在遵循一条相反道路的意义上,柏格森同样得出一个二元论的结论(见第三章)。和爱因斯坦一样,柏格森从一个主观的时间开始,然后移到自然的时间,即被物理学所客观化了的时间。但是,在他看来,这个客观化导致了时间的降格。内部的存在时间具有在过程中丢失掉的定性特点。正是由于这一原因,柏格森才引入了在物理时间和持续(一个与存在时间有关的概念)之间的区别。
  但是我们不能停在这里。如弗雷泽(J.T.Fraser)所说的,“感觉的时间和理解的时间之间的最后分歧是科学-工业文明的标志,是一种集体性的精神分裂症。”如我们已经强调过的,在经典科学惯于强调永恒性的地方,我们现在发现了变化和进化;我们再也看不到空中的轨道,这些轨道曾经使康德的心充满着和由于他服膺道德律而充满的同样的赞美之情。我们现在看到一些陌生的客体:类星体,脉冲星,爆炸着且被撕开的星系,以及那样的恒星,据说它们正在坍缩成把所能诱捕到的一切东西不可逆地吞没掉的一些“黑洞”。
  时间不仅贯穿到生物学、地质学和社会科学之中,而且贯穿到传统上一直把它排除在外的两个层次,即微观层次和宇观层次之中。不但生命有历史,而且整个宇宙也有一个历史,这一点具有深远的含义。
  从广义相对论的观点讨论宇宙模型的第一篇理论性文章是爱因斯坦在1917年发表的。它提出了对宇宙的一种静态的、没有时间的看法,即翻译到物理学中的斯宾诺莎看法。但在其后便发生了未曾预料到的事情。很快发现爱因斯坦的宇宙学方程显然还有其他的一些与时间有关的解。我们把这一发现归功于俄国的天体物理学家弗里德曼(A.Friedmann)和比利时人勒梅特(《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙)。在同一时期,哈勃(Hubble)和他的合作者正在研究星系的运动,而且他们证明了远星系的速度与它们到地球的距离成正比。弗里德曼和勒梅特所发现的与膨胀着的宇宙的关系是显然的。但在许多年中,物理学家仍然不愿接受这样一种宇宙进化的“历史”描述。爱因斯坦本人对此很谨慎。勒梅特常说,当他试图和爱因斯坦讨论使宇宙的初态更为精确而且也许在那里能发现宇宙射线的解释的可能性时,爱因斯坦未表示过任何兴趣。
  今天,有了新的证据:著名的剩余黑体辐射,即引发高密度火球爆炸的光(我们的宇宙便伴随着这个爆炸而开始)。整个故事好像是对历史的又一次嘲弄。在某种意义上,爱因斯坦违背他自己的意愿,变成了物理学的达尔文。达尔文教导我们,人类是镶嵌在生物进化中的;爱因斯坦教导我们,我们被镶嵌在一个进化着的宇宙之中。爱因斯坦的思想把他引向一个新大陆,这个新大陆对他来说就像美洲对哥伦布那样出乎意料。爱因斯坦和他那一代的许多物理学家一样,受到一个很深的信念的引导,即相信自然中有一个基本的、简单的层次。但在今天,这个层次正在变得越来越不能被实验接近。行为真正“简单”的客体只存在于我们自己的世界中,即在宏观层次上。经典科学小心地从这个中间范围内选择它的对象。被牛顿挑选出来的第一批客体(落体、摆、行星运动)是简单的。但是现在我们知道,这个简单性并不是根本规律的标志:它不能被归属于这世界的其余部分。
  这一点够了吗?我们现在知道,稳定性和简单性都是例外情形。我们应不应该因为概念化在实际上仅适用于简单和稳定的对象而对总体主义者所要求于它的总体化置之不理呢?为什么要为动力学和热力学之间的不相容性苦恼呢?
  我们不应忘记怀特海的话:学说之间的交锋是一个机会,而不是一场灾难。这段话不断地被科学的历史所肯定。人们常常建议,由于实践上的原因,我们简单地忽略掉某些争端,因为这些争端是基于那些很难实施的理想化的。在本世纪初,一些物理学家建议放弃决定论,因为在现实经验中决定论是不可达到的。事实上,如我们已经强调过的,我们从来不知道一个大系统中的分子的准确位置和速度,因此,对系统未来进化的准确预言是不可能的。再近一些时候,布里渊希望借助于下述常识性的真理而打破决定论,这就是,精确的预言要求关于初始条件的精确知识,而要得到这一知识就必须付出代价。使决定论奏效所必需的精确预言要求付出“无限的”代价。
  这些反对意见尽管是有理由的,但却没有影响动力学的概念世界。它们没有对现实作出新的解释。而且,技术上的进步能使我们越来越接近经典力学所隐含的理想化。
  与此相反,对“不可能性”的证明具有基本的重要性。这些证明隐含着发现现实的一种出乎意料的内在结构,这种结构注定使知识界的伟业走向失败。这样的发现将排除一种操作的可能性,这种操作在以前可能被想象为至少在原则上是可行的。“任何机器都不可能具有大于一的效率”,“任何热机如不接触两个热源,都不可能作出有用功”,这些就是陈述不可能性的例子,它们已经引出了意义深远的概念的创新。
  热力学、相对论和量子力学,都起源于发现了不可能性,发现了经典物理学的雄心的局限性。因此它们标志出一种已到达其极限的探索的终止。但是我们现在在一种不同的光线下,可以把这些科学发明看作不是终止而是开始,是一些新机会的开辟。我们将在第九章中看到,热力学第二定律甚至在微观层次上表达了一种“不可能性”,但是即使在那里,新发现的不可能性也成为使新概念出现的新的起点。
  7.2普适性的完结
  科学描述必须和某个属于他所描述的世界的观察者可以利用的资源相一致,而不能涉及“从外部”来看这个物理世界的人。这是相对论的基本要求之一。讲到信号的传播时,出现了一个任何观察者都不可能越过的极限。实际上,真空中的光速c(c=300000公里/秒)就是一切信号传播的极限速度。因此,这个极限速度起着根本的作用。它限制着空间中可能影响观察者所处位置的区域。
  在牛顿物理学中没有任何普适常数。这就是它主张普适性的原因,就是它为什么能不管对象的尺度如何而以同一方式被应用的原因:原子、行星和恒星的运动都服从一个定律。
  普适常数的发现标志着一个根本的变化。把光速用作比较的标准,物理学建立起了低速和接近光速的高速之间的区别。
  与此类似,普朗克常数h按照对象的质量建立起一个自然的尺度。原子不再能被看作是一个小型的行星系统。电子属于一种和行星及其他一切重的、慢运动的宏观客体(包括我们自己)不同的尺度。
  普适常数不但通过引入物理尺度(据此,各种行为都成为性质上有区别的)破坏了宇宙的均匀性,而且引出了客观性的一种新概念。任何观察者都不能以高于真空中光速的速度来发射信号。由此得出爱因斯坦的著名结论:我们不再能够定义两个远离事件的绝对同时性,同时性只能用一个给定的参照框架来定义。本书的范围不允许对相对论作更多的说明。让我们仅指出,牛顿定律并不假定观察者是一个“物理存在”。客观描述被精确地定义成对其作者没有任何涉及。对于能以无限速度通信的“非物理的”智能存在物而言,相对性的定律就是无意义的了。相对性是基于一种约束之上的,这约束只适用于物理上局域化的观察者,适用于在某一时刻只能处于一个位置而不可能同时处于各处的那些人。这个事实赋予这个物理学以一个“人类的”性质。但是这并非意味着它是一种“主观”物理学,是我们的偏爱和信念的结果;它仍然服从那些把我们认作是我们所描述的物理世界的一部分的内在约束。这是一种预先假定了一个位于被观察世界之内的观察者的物理学。我们和自然的对话仅当它是来自自然之内时才会成功。
  7.3量子力学的起源
  相对论改变了客观性的经典概念。但是,它留下了经典物理学的另一个基本特征没有改变,就是要得出对自然的一个“完备”描述的雄心。在相对论以后,物理学家再也不能求助于某个从外部观察整个世界的小妖,但是他们仍可想象出一个最高的数学家,他像爱因斯坦主张的那样,既不骗人,也不掷骰子。这个数学家会占有宇宙的公式,这公式包括对自然的一个完备的描述。在这个意义上,相对论仍然是经典物理学的一个继续。
  另一方面,量子力学的确是与过去决裂的第一个物理理论。量子力学不仅使我们位于自然之中,它还把我们标记为由宏观数目的原子组成的“重的”存在物。为了使作为普适常数的光速的结果能被看得更为清楚,爱因斯坦想象他自己骑着一个光子。但量子力学发现,我们太重了,以致无法骑光子或电子。我们不可能代替如此轻的存在物,把我们自己和它们等同起来,并描述它们会想些什么(假如它们能思考的话)以及它们会经历些什么(假如它们能够感觉什么东西的话)。
  量子力学的历史,如同一切概念创造的历史一样,是复杂的,充满未曾料到的事件;它是一种逻辑的历史,这种逻辑早在它的蕴含被发现之前很久就在实验的紧迫中和在某种困难的政治和文化的环境中被想象过。这个历史不能在此叙述,我们只想强调它在建设从存在到演化的桥梁(这是我们的主题)中所起的作用。
  量子力学的诞生本身是对这座桥梁的探索的一部分。普朗克曾对物质和辐射之间的相互作用很有兴趣。他的工作基于这样的雄心:要在物质与光的相互作用方面完成玻耳兹曼在物质与物质的相互作用方面所完成的工作,即要为导致平衡态的不可逆过程发现出一个动力模型。使他感到吃惊的是,为了达到在热平衡态有效的实验结果,他被迫假定在物质和辐射之间的能量交换只能发生在包含一个新普适常数的若干离散步中。这个普适常数“h”量度每一步的“尺寸”。
  在这个例子中,和在其他许多情形一样,不可逆性的挑战引出了在物理学中的有决定意义的进步。
  这一发现一直是孤立的,直到爱因斯坦对普朗克常数作出第一个一般解释。他懂得,该常数对于光的本性具有深远的蕴含。他引进一个革命的概念:光的波粒二象性。
  自十九世纪初起,人们把光和在诸如衍射和干涉这些现象中表现出的波动性联系起来。但是,在十九世纪末,新的现象被发现,著名的是光电效应——这就是由于光的吸收而排出电子。这些新的实验结果很难用传统的光的波动性来解释。爱因斯坦假定光可以同时是波和粒子,并假定这两个方面通过普朗克常数而关联起来,由此而解决了这个谜。说得更精确一些,一束光波以其频率v及其波长λ为特征;h使我们能从频率和波长走向能量σ和动量p这样的力学量。一方面是v和λ,另一方面是σ和p,这两者之间的关系是很简单的ε=hv,p=h/λ,两式都含有h,二十年后,路易斯·德布罗意把这个波粒二象性从光推广到物质,因此成为量子力学的近代表述的起点。
  1913年,尼尔斯·玻尔把新的量子物理学和原子结构(后来与分子结构)连接起来。作为波粒二象性的结果,他证明了存在着电子轨道的离散序列。当一个原子被激发时,电子从一个轨道跃迁到另一轨道。就在这一瞬间,原子释放或吸收一个光子,其频率相当于电子分别在这两个轨道上运动时所具有的能量之差。这个能量差就是用爱因斯坦的把能量和频率联系起来的公式计算出来的。
  这样,我们来到有决定意义的1925至1927年,即物理学的一个“黄金时代”。在这个很短的时期中,海森堡、玻恩、约当、薛定谔和狄拉克把量子物理学变成一个和谐的新理论。这个理论把爱因斯坦的和德布罗意的波粒二象性纳入了动力学的一个新的一般化形式(即量子力学)的框架之中。对我们这里的目的而言,量子力学的概念新奇性是本质上的。
  首先,必须引进一个在经典物理学中未知的新表述,以容许“量子化”被纳入理论语言之中。基本事实是,原子只能在对应于不同电子轨道的离散能级中被找到。特别是,这就意味着能量(或哈密顿量)不再能只是位置和动量的一个函数,如它在经典力学中那样。否则,给出位置和动量的稍稍不同的值,能量就可能成为种种连续的值。但如观测所揭露的,只有离散的能级存在着。
  因此,我们必须用新的什么东西去代替常规的思想,即哈密顿量是位置和动量的函数的思想。量子力学的基本思想是,哈密顿量以及经典力学的其他量,如坐标q或动量p,现在都变成了算符。这是在科学中所曾引入的最大胆的思想之一,我们愿意详细地讨论一下。
  这是一个简单的思想,即使初看上去有些抽象。我们必须分清算符(一种数学运算)和它所作用的对象(一个函数)。作为一个例子,我们把用d/dx表示的导数作为数学的“算符”,并且假定它作用于一个函数,比如说x2。这一运算的结果是一个新的函数,在此例中便是“2xx”。但是,某些函数在求取导数时有一种特殊的性质。例如,“e3x”的导数是“3e3x”:这里我们回到了原来的函数,只是乘上了一个数——此处是3。在一给定算符作用后只是复原的函数,称做这个算符的“本征函数”,算符作用之后将本征函数乘上的数就是该算符的“本征值”。
  因此,对每个算符,都有一个集合,一个数值“库”与之对应,这个集合形成它的“谱”。当本征值组成一个离散数列时,这个谱是“离散”的。例如,存在着一个以所有整数0,1,2,…为本征值的算符。谱也可以是连续的——例如,当它由0和1之间的所有的数组成时。
  量子力学的基本概念因而可以表述如下:经典力学中的所有物理量都有量子力学中的某个算符与之对应,这个物理量所能取的数值就是该算符的本征值。重要的是,物理量(由某算符表示)的概念现在和它的数量(由该算符的本征值表示)的概念区分开来。特别是,能量现在是由哈密顿算符表示,能级——能量的观测值将由与该算符对应的本征值来标明。
  算符的引入为物理学打开了一个令人坚信是丰富的世界,而且我们抱憾的是不能把更多的篇幅用于这一迷人的主题,在其中创造性的想象和实验观察是如此成功地结合在一起。这里我们只想着重指出,微观世界服从于具有新结构的定律,由此一劳永逸地结束了发现一个对所有描述层次都适用的单一概念模式的希望。
  专门处理某一情况的新的数学语言的确可能打开一些令人吃惊的研究领域,远远超出这种语言的创造者的期望。这一点也适用于微积分,它是经典动力学表述的根源。它还适用于算符计算法。量子论开始时是一些未料到的实验发现的结果所要求的,很快便揭露出它自身孕育着新的内容。
  今天,在算符被引进量子力学的五十多年以后,它们的意义仍然是一个引起热烈讨论的题目。按照历史的观点,算符的引入是和能级的存在连在一起的,但是今天算符甚至在经典物理学中也已有了应用。这说明,算符的意义已被推广到超出了量子力学奠基人的期望。现在,只要由于这种或那种原因而不得不放弃动力学轨道的概念和轨道所隐含的决定论的描述,算符就会出来起作用。
  7.4海森堡的测不准关系
  我们已经看到,在量子力学中,每个物理量都和一个作用于某些函数的算符相对应。和所考虑的算符相对应的本征函数和本征值具有特别重要的意义。本征值精确地对应着物理量现在所能取的数值。让我们更仔细地看一下量子力学中与坐标q和动量p相联系的算符,我们在第二章中已经看到,它们的坐标是正则变量。
  在经典力学中,坐标和动量在下述意义上是独立的:我们可以为某个坐标赋予一个数值,这个值和我们已为动量所赋予的值完全无关。但是,普朗克常数h的存在暗示着独立变量数目的减少。我们可以直接从爱因斯坦-德布罗意关系λ=h/p猜想到这一点,我们已经看到,该关系把波长和动量联系起来。普朗克常数h表达了长度(和坐标的概念紧密相关)和动量之间的一种关系。因此,位置和动量不再像在经典力学中那样是独立的变量。与位置和动量相对应的算符可以单独用坐标来表达,或是用动量来表达,这些在所有讨论量子力学的教科书中都有解释。
  重要的是,在所有情形中,只有一种量出现(或是坐标,或是动量),而不是同时出现两种。在这个意义上我们可以说,量子力学把经典力学变量的数目用2除了。
  在量子力学中,从算符间的关系导出一个基本性质:两个算符qop和pop不能对易,就是说,qoppop和Popqop施加在同一函数上,其结果是不同的。这一点具有深刻的含义,因为只有对易的算符才允许有共同的本征函数。所以我们不可能找出一个函数,既是坐标的又是动量的本征函数。作为量子力学中坐标算符和动量算符的定义的结果,不可能有这样的状态,其中坐标q和动量p这两个物理量同时具有完全确定的值。这种在经典力学中不曾有过的情形是由海森堡的著名的测不准关系表达出的。我们可以测量坐标和动量,但用△Q2△p表示的各自可能预言的差量,被海森堡不等式△q△p≥h联系起来。我们可以使△任意小,但那时△p就变成无穷大,反过来也一样。
  有关海森堡的测不准关系已有很多论述,我们的讨论显然是过于简化了的。但是我们希望读者了解一下由于使用算符而出现的新问题:海森堡测不准关系必然引起因果概念的修正。精确地确定坐标是可能的。但当我们这样做的那个瞬间,动量将得到一个任意值,或正或负。换句话说,客体的位置一下子将变得任意远。局域化的意义变得模糊了:构成经典力学基础的那些概念被深刻地改变了。
  量子力学的这些结果是许多物理学家包括爱因斯坦所不能接受的;他们设计出许多实验来证明上述结果的荒唐。还有一种企图,要使所涉及的概念变革成为最小。特别是,人们设想,量子力学的建立以某种方式和由观测过程产生的扰动联系起来。一个系统被认为具有一些固有地完全确定的力学参量,比如坐标和动量;但它们当中的某些参量可能被测量弄得模糊起来,而海森堡的测不准关系只是表达出测量过程所产生的扰动。因此,经典的现实主义在基本层次上仍保持原样,我们只是不得不加上一个实证主义的修饰语。这种解释看来太狭窄了。干扰结果的并不是量子测量过程。远不是如此,普朗克常数强迫我们修正我们的坐标和动量的概念。这个结论已被最近的实验所证实,这些实验是用来检验对那些为了恢复经典决定论而引入的局域隐变量所作的假定的。这些实验的结果证实了量子力学的一些引人注目的结果。
  量子力学迫使我们不大能绝对地谈及某客体的局域化,这一点如尼尔斯·玻尔时常强调的,暗示我们必须放弃经典物理学的现实主义。在玻尔看来,普朗克常数把在一个量子系统和测量装置之间的相互作用定义为不可分开的。只是对量子现象的整体,包括测量相互作用,我们才能赋予数值。因此,全部描述意味着一种对测量装置的选择,一种对所提问题的选择。在这个意义上,答案,即测量结果,并不能使我们接近某个给定的实在。我们必须决定我们将要实行哪个测量,以及我们的实验将向系统提出哪个问题。因此对一个系统来说,有不可约化的表象的多重性,每一个表象联系着一个确定的算符集。
  这说明和客观性的经典观念的分歧,因为在经典观点中,仅有的“客观”描述是照系统原样对系统进行完整描述,而和怎样观察它的选择无关。
  玻尔总是强调通过测量所引入的正的选择的新奇性。物理学家必须选择他的语言,选择宏观实验设置。玻尔通过互补性原理表达出这种思想,互补性原理可以看作是海森堡测不准关系的一个推广。我们能测量坐标或动量,但不能同时测量这两者。没有一种理论语言(它把可以赋予确定值的变量清晰地表达出来)能把一个系统的物理内容表达无遗。各种可能的语言和对系统的各种可能的观点可以是互补的。它们都处理同一实在,但不能把它们约化为一种单一的描述。对同一实在的观点的不可约化的多样性表达出可以看到整个实在的一种神明观点的不可能性。但是互补性原理的教训不是无可奈何的教训。玻尔常说,量子力学的意义总使他感到眼花缭乱,而且当我们离开常识的舒适成规时,我们的确感到了眼花缭乱。
  要从互补性原理学到的真正教训,一种也许能够转移到其他知识领域的教训,在于强调现实的丰富,它超过了任何单一的语言,任何单一的逻辑结构。每一种语言所能表达的只是实在的一部分。例如,音乐的任何一种实现,任何一种作曲风格,从巴赫到勋柏格,都没有穷尽音乐。
  我们强调了算符的重要性,因为它们表明,物理学所研究的实在也是一种精神结构,它不仅仅是被给出的。我们必须区分在数学上用算符表示的坐标或动量的抽象概念和能够通过实验得出的它们的数值实现。“两种文化”互相对立的原因之一可能就是相信文学对应着实在的概念化,对应着“虚构”,而科学似乎是要表达客观的“实在”。量子力学使我们懂得,情况并非如此简单。在所有层次上,现实都隐含着一个基本的概念化要素。
  7,5量子系统的时间演变
  现在我们来讨论量子系统的时间演变。像在经典力学中一样,哈密顿量起着根本的作用。我们看到,在量子力学中,它被哈密顿算符Hop所代替。这个能量算符起着中心的作用:一方面,它的本征值和能级相对应;另一方面,如在经典力学中一样,哈密顿算符决定了系统随时间的演变。在量子力学中,经典力学的正则方程所起的作用由薛定谔方程承担,薛定谔方程表达了这样一个函数随时间的演变,该函数把量子状态的特征归结为在波函数ψ上施加算符Hop所得到的结果(当然,还有其他的表述,我们不能在此描述)。选择“波函数”这样一个词是为了再一次强调在全部量子物理学中是如此根本的波粒二象性。ψ是波幅,它随着哈密顿量所确定的方程的粒子类型而演变。薛定谔方程像经典物理学的正则方程一样,表达出一种可逆的和决定论的演变。波函数的可逆变化对应于一个沿着某个轨道的可逆运动。如果知道了在给定时刻的波函数,那末薛定谔方程就使我们能计算出任何较前时刻或较后时刻的波函数。按照这个观点,情况严格地类似于经典力学。这是因为量子力学的测不准关系没有包括时间。时间仍然是一个数,不是一个算符,而只有算符才能出现在海森堡测不准关系中。
  量子力学只处理经典力学变量的一半。因此,经典的决定论成为不可应用的,且在量子物理学中统计的思想起着中心的作用。我们是通过波强度ψ2(波幅的平方)接触统计思想的。
  量子力学的标准统计解释如下:考虑某个算符比如说能量算符Hop的本征函数及其相应的本征值。一般地说,波函数ψ将不是能量算符的本征函数,但它可以被表达成这些本征函数的叠加。每个本征函数在这个叠加中各自的重要性使我们能够计算出各种可能的对应本征值出现的概率。
  这里我们又一次注意到与经典理论的一个基本分歧。可以预言的只是概率,而不是单个事件。这是在科学史上第二次使用概率去解释自然的某些基本性质。第一次是玻耳兹曼对熵的解释。但是,在那里,一种主观的观点仍是可能的,在这种观点中,“只是”由于我们面对所研究的系统的复杂性时的无知,才使我们无法得到一个完备的描述。(我们将看到,在今天,有可能克服这种态度。)这里,和以前一样,概率的使用是许多物理学家包括爱因斯坦所不能接受的,因为他们希望得到一种“完备”的决定论的描述。正如对待不可逆性那样,乞求于我们的无知看来提供了一条出路:我们的笨拙使我们要对量子世界中的统计行为负责,正如它使我们对不可逆性负责一样。
  我们又一次遇到隐变量的问题。但是,如我们已说过的,还不曾有实验证据说明引进这种变量是正当的,而且概率的作用看来是不可减少的。
  薛定谔方程导出决定论预言的情形只有一种:这就是当ψ不作为本征函数的叠加而被约化为一个单一的本征函数时。特别是,在一个理想的测量过程中,一个系统可以被准备得使某一给定测量的结果可以预言。于是我们知道,这系统是被相应的本征函数所描述的。从这时起,系统可以被肯定地描述成是处于由测量结果所指明的本征态之中。
  量子力学中的测量过程具有特殊的意义,这种意义在今天正吸引着极大的兴趣。假定我们从某个确实是本征函数的叠加的波函数出发。作为测量过程的结果,全由这同一个波函数表示的所有系统的单一的集合将被对应于各个可能被测出的本征值的波函数的集合所代替。用技术性的话来说,测量把单一的波函数(一种“纯粹”态)转为一种混合态。
  如玻尔和罗森菲尔德(Rosenfeld)反覆指出的那样,每个测量都包含着一个不可逆性要素,一种对不可逆现象(如和“数据”记录相对应的化学过程)的求助。记录伴随着一个放大,由此,微观事件产生出宏观层次上的效果,这宏观层次就是我们可以读测量仪表的层次。因此,测量预先假定了不可逆性。
  从某种意义上说,在经典物理学中就已经如此。但是,测量的不可逆性问题在量子力学中更为急切,因为它在自身表述的层次上提出了问题。
  按照通常解决这一问题的方法,量子力学没有进行选择,而是假定两种彼此不可约化的过程的共存,这两种过程就是薛定谔方程所描述的可逆和连续的演变,和在测量时波函数不可逆和不连续地约化为它的本征函数之一。于是得到这样的佯谬:可逆的薛定谔方程只能由不可逆的测量去检验,而按照定义,这个可逆的方程却不能描述这些不可逆的测量。因此,量子力学不可能建立起封闭的结构。
  面对这些困难,一些物理学家再一次躲避到主观主义里,他们说,我们(我们的测量,有些人甚至说,我们的思想)决定着打破自然的“客观”可逆性的法则的那个系统的演变。另一些物理学家得出结论说,薛定谔的方程是不“完备”的,必须增加新的项,以说明测量的不可逆性。其他更加不可能的“解”也被提出过,例如埃弗雷特(Everett)的多世界假设。但是在我们看来,量子力学中可逆性和不可逆性的共存表明,把动力学世界描述成是自洽的那种经典的理想化在微观层次是不可能的。这就是玻尔所说的我们用来描述量子系统的语言不能和描述我们测量仪表的功能的宏观概念分开这段话的含义。薛定谔方程所描述的并不是现实的一个孤立的层次,倒是它预先假定了我们所属的这个宏观世界。
  因此,量子力学中的测量问题是本书致力讨论的问题之一的一个方面——哈密顿轨道和薛定谔方程所描述的简单世界和不可逆过程的复杂宏观世界之间的联系。
  在第九章中我们将看到,当包含在轨道概念中的理想化变为不适当的时候,不可逆性进入了经典物理学。量子力学中的测量问题容许得到同一类型的解。事实上,波函数表示对某个量子系统的最大知识。如在经典物理学中那样,这个最大知识的对象满足一个可逆的变化方程。在这两种情形中,不可逆性都是当和最大知识相对应的理想客体不得不被较少理想化的概念代替时引进的。但这在何时发生?这是个我们将在第九章讨论的不可逆性的物理机制的问题。但是,让我们先概括一下当代科学更新的某些其他特点。
  7.6非平衡宇宙
  本章中所描述的这两次科学革命,是作为把普适常数(c和h)纳入经典力学的框架中去的企图而开始的。这导致影响深远的后果,其中有一些我们已在这里描述。从其他的角度来看,相对论和量子力学似乎坚持在牛顿力学中所表达的基本世界观。对时间的作用和意义而言,尤其如此。在量子力学中,只要知道了在时刻0时的波函数,那末它在未来和过去的值ψ(t)便都是确定的。与此类似,在相对论中,常常使用四维记法(空间三维和时间一维)来强调时间的静态几何性质。如闵可夫斯基在1908年简洁地表达的,“空间本身和时间本身都注定消失在不过是阴影之中,只有这两者的某种联合才能保持某种独立的现实性……只有在自身中的世界才能存在下去。”
  但在过去的五十年间,这种情况已发生根本的变化。量子力学已经成为处理基本粒子及其变换的主要工具。描述在过去几年中出现的惊人多样的基本粒子已超出本书的范围。
  我们只想回顾,狄拉克使用量子力学和相对论这两者证明了,我们必须把每一个具有质量m和电荷6的粒子和具有同一质量和相反电荷的某个反粒子联系起来。正电子即电子的反粒子,以及反质子,都正在高能加速器中产生出来。反物质已经成为粒子物理学中的普通研究课题。粒子和与之对应的反粒子在碰撞时彼此湮灭,产生出光子,即和光相应的没有质量的粒子。量子论的方程对于粒子与反粒子的交换而言是对称的,或者说得更确切一些,它们对于一种称为CPT对称的较弱的要求而言是对称的。尽管有这种对称性,但是在我们周围世界中存在着粒子与反粒子之间的一种引人注意的非对称性。我们是由粒子(电子、质子)组成的,而反粒子只是罕见的实验室产品。假如粒子和反粒子以相等的数量共存,那末一切物质将被湮灭。强有力的证据证明,我们的星系中不存在反物质,但并不能排除在远星系中存在的可能性。我们可以想象宇宙中的一种机制,它把粒子和反粒子隔开,把反粒子藏到了什么地方。但是,似乎更可能的是,我们生活在一个“非对称的”宇宙中,在那里,物质完全地统治着反物质。
  这怎么可能呢?萨哈罗夫(Sakharov)在1966年提出了一个解释这一情形的模型,而今天,很多工作正沿着这些路线在进行着。该模型的一个基本要素是,在物质形成的时刻,宇宙必须处于非平衡条件下,因为在平衡态,第五章讨论过的质量作用定律会要求有等量的物质和反物质。
  我们想在这里强调的是,非平衡态现在得到了一个新的宇宙学的维。没有非平衡态和没有与之相连的不可逆过程,宇宙就会有完全不同的结构。那里就不会有明显数量的物质,只有一些物质局部超过反物质,或反物质局部超过物质的涨落现象。
  量子论已经从一种机械论的理论(它被修正得去说明普适常数h的存在)演变成一种基本粒子相互变换的理论。在想表述“基本粒子统一理论”的最近尝试中,人们甚至猜想,物质的所有粒子,包括质子,都是不稳定的(不过,质子的寿命会非常长,具有1030年的数量级)。力学,即运动的科学,并不对应于描述的基本层次,而变成只不过是一种近似,它之所以有用,只是因为像质子那样的基本粒子具有很长的寿命。
  相对论已经经受了同样的变革。如我们已提到的,它是作为一种十分强调无时间的特点的几何理论而开始的。今天,它是研究宇宙热史的主要工具,是为导出现今宇宙结构的机制提供线索的主要工具。时间的问题,不可逆性的问题,因而得到了新的急迫性。它已从工程的领域,从应用化学的领域(它首先在那里被表述),扩展到了整个物理学,从基本粒子到宇宙学。
  从本书的角度来看,量子力学的重要性在于它把概率引入了微观物理学。不应把这一点和描述第五章讨论过的化学反应的随机过程混淆起来。在量子力学中,除了在测量过程中之外,波函数是以决定论的形式变化的。
  我们看到,在从量子力学被表述以来的五十年中,非平衡过程的研究已经揭露出,涨落和随机因素甚至在微观尺度上也是重要的。我们在本书中已反覆指出,今天正在进行的物理的重新概念化,从决定论的可逆过程转向随机的不可逆的过程。我们相信,量子力学在这个过程中占有一种中间的位置。在那里,出现了概率,但没有出现不可逆性。我们期望(而且我们将在第九章中给出这种期望的某些理由),下一步将是引进微观层次的基本不可逆性。和企图通过隐变量或其他手段去恢复经典正统性的那种思想相反,我们将坚决主张,必须进一步远离对自然的决定论的描述,并采用一种统计的随机描述。

8学说间的交锋

  8.1概率和不可逆性
  我们将看到,物理学家在几乎所有的地方都把单向时间的使用排除在他们的科学之外,他们好像知道这种思想和物理学的理想不同,引入了一种拟人论的因素。尽管如此,在某些重要的场合曾经求助于单方向的时间和单方向的因果性,不过,正如我们将要说明的那样,它们总是在支持某种错误的学说。
  刘易斯(G.N.LeWis)
  我认为,熵永远增加的定律(即热力学第二定律)在自然定律中占有至高无上的地位。假如有人向你指出,你的得意的宇宙理论与麦克斯韦方程不一致,那末对麦克斯韦方程而言,更坏的事情也不过如此。假如你的理论被发现是与观测相矛盾的,那好,这些实验家有时候会做出一些错事。但是,如果发现你的理论与热力学第二定律相对立,那我不能给你任何希望;它只有彻底垮台,别无出路。
  A.S.爱丁顿
  随着热力学第二定律的克劳修斯表述,热力学与动力学之间的冲突变得显而易见。在物理学中几乎没有一个问题比热力学与动力学之间的关系问题更经常和更活跃地被讨论过。即使在现在,在克劳修斯之后一百五十年,这个问题依然激起强烈的感情。没有一个人能在这个冲突中保持中立,这个冲突涉及现实和时间的含义。一定要放弃动力学这个近代科学之母而垂爱于某种形式的热力学吗?这是“唯能论者”的观点,他们曾在十九世纪有过很大影响。有没有一种办法去“救助”动力学,去重新获得第二定律而不放弃由牛顿及其继承者所建设起来的可怕的结构呢?在一个由动力学所描述的世界里,熵能起什么作用呢?
  我们已经提到过玻耳兹曼提出的答案。玻耳兹曼的著名方程S=k1ogP建立了熵与概率之间的关系:熵随着概率的增大而增大。让我们立刻强调指出,从这个角度来看,第二定律具有实践上很大的重要性,但却没有什么根本性的意义。马丁·加德纳(Martin Gardner)在他的杰作《灵巧的宇宙》(The Ambidextrous Universe)一书中写道:“某些事件只走一条路,并非因为它们不能走另一条路,而是因为它们绝对不可能倒退回去。”通过改善我们测量越来越不可能的事件的能力,我们就能达到使第二定律的作用任意小的情形。这是今天经常采取的观点,但这不是普朗克的观点。普朗克认为:
  假定第二定律的有效性总是和进行观察或实验的物理学家或化学家的技巧有关,这是荒唐的。第二定律的要旨与实验毫无关系。该定律简要地断言:自然界中存在着一种量,在一切自然过程中,这种量总是在同样的意义上变化。以这种一般形式陈述的命题可能是正确的,也可能是不正确的,但无论是对是错,它将保持其对或错,而不管在地球上是否存在着能够思想和能够测量的人,也不管他们(假定他们存在的话)是否能够比我们能做的更精确一位、两位或一百位小数地去测量物理过程或化学过程的细节。这个定律如果有什么局限性的话,那也肯定是在它的基本思想所在的同一地方,在这个被观察到的自然之中,而不是在观察者那里。在推演这个定律时求助于人的经验是无关紧要的,因为在实际上那是我们得到有关自然定律的知识的唯一途径。
可是,普朗克的观点仍是孤立的。正如我们注意到的,大多数科学家认为第二定律是一种近似的结果,是主观观点对物理学精确世界的入侵。例如,玻恩说过一句名言:“不可逆性是把无知引入物理学基本定律的结果。”
  在本章中,我们希望讨论一下发展第二定律的解释的一些基本阶段。首先我们必须理解为什么这个问题显得那样困难。在第九章中,我们将继续提出一种新的方法,我们希望它将清楚地表达出第二定律的基本根源和客观意义。我们的结论将与普朗克的观点一致。我们要说明,第二定律决不是要破坏动力学那种令人生畏的结构,而是要在它里面增添一个带根本性的新要素。
  首先我们想阐明玻耳兹曼关于熵与概率之间的联系。先来讨论一下埃伦费斯特夫妇(P.andT.Ehrenfest)提出的“罐子模型”。考虑有N个客体(例如球)分布在两个容器A和B中。每隔一定的时间(例如每秒),随意地选择一个球,并把它从一个容器移到另一容器。设在n时刻有k个球在A中,有N-k个球在B中。那末在n+1时刻,A容器中可能有k-1或k+1个球(参阅图23)。我们得出,由k变为k-1的转移概率是k/N,由k变为k+1的转移概率是1-k/N。假定这个实验继续进行下去。我们期望,交换球的结果是达到玻耳兹曼意义下的最可几分布。当球的个数N很大时,这个分布对应着每个罐中有N/2个球。这一点可以通过初等计算或做实验来加以验证(参阅图24)。

《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙
  图23埃伦费斯特的罐子模型。N个球分布在A和B两个容器中。在时刻n,有k个球在A中,N-k个球在B中。每隔一定时间有一个球随机地从罐A取出并放入罐B。
《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙
  图24埃伦费斯特罐子模型中向平衡态(k=N/2)的趋近(示意图)。
  埃伦费斯特模型是“马尔可夫过程”(或称马尔可夫“链”)的一个简单例子,这个过程因伟大的俄国数学家马尔可夫而得名,他是最早论述这种过程的人之一(另一位是彭加勒)。简要地说,这种过程的特点就是存在着确定的转移概率,与系统先前的历史无关。
  马尔可夫链有一个显著特点:它们能用熵来加以描述。让我们把在容器A中找到k个球的概率叫做P(k),于是,我们把它和一个“《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量”联系起来,这个量正好具有我们在第四章中讨论过的熵的特性。图25给出了它的演变的一个例子。《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量随时间均匀地变化,如同一个孤立系统的熵的变化一样。确实,《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量随时间减小,而熵S随时间增大。不过,这是个定义上的问题:《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙起着-S的作用。
  这个“《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量”的数学含义值得更详细地加以考虑:它给出了在一给定时刻的概率和在平衡态(每个罐里的球数为N/2)时存在的概率之差。埃伦费斯特罐子模型中所用的论断可以被推广到一般。我们来考虑正方形分划问题——就是说,把正方形逐步细分成一些不连接的区域。然后我们考虑正
《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙
  图25和埃伦费斯特模型对应的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量(定义见正文)随时间的演变。该量单调地减小,当时间很长时趋于零。方形中粒子的分布,并把在区域k中找到一个粒子的概率称作P(k,t)。类似地,把达到均匀状态时的这个量称作Peqm(k)。和罐子模型相类似,我们假定存在着一些确定的转移概率。《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量的定义是:
《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙
注意式中出现的比率P(k,t)/Peqm(k)。设有8个盒子,且Peqm(k)=1/8。比如开始时所有粒子可能都在第一个盒子中。相应的P(k,t)值为P(1,t)=1,而其余都为0。结果有《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙=log[1/(1/8)]=log8。随着时间的过去,粒子分布变成是均匀的,P(k,t)=Peqm(k)=1/8。结果是《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量降为0。根据图25,可以看出《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙的值是以均匀的方式下降的(所有论述随机过程理论的教材中对此都有说明)。这就是为什么《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙起着-S(熵)的作用的原因。《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量的均匀减小具有非常简单的含义:它量度着系统的逐步均匀化。初始信息丢失了,系统从“有序”演变到“无序”。
  注意马尔可夫过程包含着涨落,正如图24中清楚指明的那样。如果我们等待的时间足够长,就会回到初态。但是,我们是在处理平均值。这个均匀下降的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙M量是用概率分布而不是用个别事件来表达的。概率分布的演变是不可逆的(在埃伦费斯特模型中,分布函数均匀地趋向于二项分布)。所以在分布函数的水平上,马尔可夫链导致一种时间的单向性。
  这个时间之矢标志着马尔可夫链与量子力学中的时间演变之间的不同,在量子力学中波函数虽然与概率有关,其演变却是可逆的。它也表明像马尔可夫链那样的随机过程和不可逆性之间有着紧密联系。但是,熵的增大(或说《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量的减小)并不是基于出现在自然定律中的时间之矢,而是基于我们运用当前知识去预言未来(不是过去)行为的决定。吉布斯以他惯用的精确方式陈述这一点说:
  先前事件与后继事件的差别就数学假设来说可能是无关紧要的,但就现实世界的事件而言却完全不同。当选择我们的系综去说明现实世界中事件的概率时,我们不应忘记:虽然常根据先前事件的概率去确定后继事件的概率,但用后继事件的概率去确定先前事件概率的情形是很少见的,因为排除了对先前事件的先前概率的考虑,便很难说我们是正确这一点很重要,已经引起许多讨论。概率计算确实是时间定向的。对未来的预言不同于对过去的追溯。如果这就是事情的全部,我们就必须得出结论说我们是被迫接受一种关于不可逆性的主观解释,因为过去与未来的区别仅仅取决于我们自己。换句话说,在不可逆性的主观解释(因与信息论的含糊类比而进一步被加强)中,观察者要对刻划系统发展的时间不对称性负责。由于观察者不可能一眼看去就确定出组成一个复杂系统的全部粒子的位置和速度,所以他无法知道同时包含系统过去和未来的那些瞬时状态,他也不能理解那个使他能预言系统由一个时刻到下一个时刻的发展的可逆性定律。他也不能像麦克斯韦发明的小妖那样去操纵系统,这个小妖能把高速运动和低速运动的粒子分隔开,把违反热力学的演变,即趋向于越来越不均匀的温度分布的演变,强加给一个系统。
  热力学仍然是复杂系统的科学,可是从这个角度来看,复杂系统唯一的特性就是:我们关于它们的知识是有限的,随着时间的推移,我们的不确定性会越来越大。科学家不承认在不可逆性当中有什么东西把自然与观察者联系起来,而被迫承认自然只是反映了他的无知。自然是沉默无言的,不可逆性决不使我们在这物理世界中生根,它不过是人类努力及其极限的回声。
  但是,可以提出一个直接相反的意见。按照这种解释,热力学应当像我们的无知那样普遍。只有不可逆过程是应该存在的。这是对熵的所有普遍解释的绊脚石,这些解释集中到我们对初始(或边界)条件的无知上。不可逆性不是一个普适的性质。为使动力学和热力学连接起来,需要一个物理的判据,去区分可逆过程和不可逆过程。
  我们将在第九章中讨论这个问题。这里,让我们回到科学史和玻耳兹曼的开拓性工作上来。
  8.2玻耳兹曼的突破
  玻耳兹曼的主要贡献是从1872年开始的,大约比马尔可夫链的发现早三十年。他的雄心是推导出熵的“力学”解释。换句话说,在马尔可夫链中,转移概率是从外面给定的(例如,像在埃伦费斯特模型中那样),而我们现在则必须把它们与系统的动力学行为联系起来。玻耳兹曼对这一问题是如此迷恋,以致把自己的大部分科学生命都献给了它。玻耳兹曼在他的《大众科学》(《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙 Schriften)中写道:“如果有人问我,我们应该给这个世纪起个什么名字,我将毫不犹豫地回答:这是达尔文世纪。”玻耳兹曼被进化论的思想深深吸引,立志要当一个物质进化的“达尔文”。
  对熵作出机械论解释的第一步就是重新把分子或原子的“碰撞”概念以及统计描述的可能性引进物理描述中。这一步已由克劳修斯和麦克斯韦迈出了。由于碰撞是离散事件,所以我们可以对它们进行计数,可以估计它们的平均频率。我们还可以对碰撞进行分类,比如说,把产生一个具有给定速度v的粒子的碰撞和破坏一个具有速度v的粒子同时产生具有不同速度的分子的碰撞(即“顺”碰撞和“逆”碰撞)区分开来。
  麦克斯韦提出的问题是,有没有可能定义一种气体状态,使得那些不断改变分子速度的碰撞不再决定这些速度的分布上的变化,也就是说,不再决定对于每个速度值的平均粒子数上的变化。什么样的速度分布能使不同碰撞的效果在群体尺度上互相补偿?
  麦克斯韦证明,这种特殊状态,即热力学平衡态,发生在速度分布呈著名的“钟形曲线”即高斯曲线的情况下(“社会物理学”的创始人凯特尔把这种曲线作为随机性的真正表达)。麦克斯韦的理论使我们能对描述气体行为的一些基本定律作出简单的解释。温度的增高对应于分子平均速度的增大,因而也对应于与分子运动相联系的能量的增大。实验已经十分精确地证实了麦克斯韦的定律,它还提供了解决大量物理化学问题(例如,计算反应混合物中的碰撞数)的基础。
  但是,玻耳兹曼打算走得更远些。他打算不仅描述平衡态,而且描述达到平衡态(即达到麦克斯韦分布)的演变过程。他想发现与熵的增大相对应的分子机制,即驱使系统从任意一种速度分布走向平衡态的机制。
  玻耳兹曼还独到地在分子群体的层次上而不是在个别轨道的层次上探讨物理演变的问题。他感到这实际上相当于在完成达尔文的宏伟事业,不过这一次是在物理学上:在生物进化背后的推动力——自然选择——不能对某个个体,而只能对一个大的群体来加以确定。所以这是一个统计的概念。
  玻耳兹曼的结论可以用相对而言比较简单的术语加以描述。在一定的空间,在时刻t的速度v的分布函数f(v,t)的演变看来像是两个效应之和;在任何给定时刻t具有速度v的粒子的数目,既由于粒子自由运动又由于粒子之间的碰撞而发生变动。第一种效应可以很容易地用经典动力学的方法来计算。玻耳兹曼方法的独到之处在于他对第二种效应即由于碰撞而产生的效应的研究。面对跟踪轨道(包括相互作用)的困难,玻耳兹曼提出使用和第五章概述过的(与化学反应相联系的)概念相类似的概念,并计算出产生或破坏一个对应于速度v的分子的平均碰撞数。
  这里我们又一次遇到,有两种具有对立效应的过程——“顺”碰撞,它们从两个分别具有速度v′和v”的分子开始,产生一个具有速度v的分子;以及“逆”碰撞,其中一个具有速度v的分子由于与另一个具有速度v″′的分子相碰撞而被破坏。和化学反应(见第五章第1节)类似,这些事件的频率和参与这些过程的分子的数目的积成比例,因而可以求出值来(当然,按历史顺序来说,玻耳兹曼的方法是1872年提出的,早于化学动力方法)。
  玻耳兹曼得到的结果和在马尔可夫链中得出的结果相当类似。我们再次引入《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量,不过这一次是关于速度分布f的。可以写出《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙=∫flogfdv。这个量仍然只能随着时间而减小,直到达到平衡态,速度分布成为平衡的麦克斯韦分布。
  近年来已经有了关于《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙随时间而均匀减小的大量的数字验证。它们全都证实了玻耳兹曼的预言。甚至在今天,他的动力学方程也仍在气体物理学中起着重要作用:诸如显示热传导或热扩散特性的传输系数的计算结果,能和实验数据相当吻合。
  但是,我们认为玻耳兹曼的成就最伟大,是从纯概念的角度来看的:可逆现象与不可逆现象之间的差别(如我们已看到的,它是第二定律的基础)现在已转移到微观层次。速度分布的变化中由于自由运动而引起的那一部分与可逆部分相对应,由于碰撞而引起的那一部分则与不可逆部分相对应。对玻耳兹曼来说,这是熵的微观解释的关键。一个分子演变的原理产生出来了!很容易理解这个发明对跟在玻耳兹曼之后的物理学家们(包括普朗克、爱因斯坦和薛定谔)产生了多么大的吸引力。
  玻耳兹曼的突破是通向过程的物理学的决定性一步。在玻耳兹曼方程中决定时间演变的不再是与力的类型有关的哈密顿量;反之,现在与过程相联系的函数(例如散射截面)将产生运动。我们能下结论说,不可逆性的问题已经解决了,玻耳兹曼的理论已把熵约化成动力学了吗?答案很清楚:不能这样说。让我们更仔细地看一下这个问题。
  8.3对玻耳兹曼解释的质疑
  当玻耳兹曼的奠基性论文在1872年一发表,反对意见也就出来了。玻耳兹曼真的从动力学“推导”出不可逆性了吗?轨道的可逆性定律怎能导出不可逆的演化呢?玻耳兹曼的动力学方程怎么能和动力学相容呢?容易看出,在玻耳兹曼方程中出现的对称性是与经典力学中的对称性相矛盾的。
  我们已经知道,在经典动力学中,速度反演(即从v变为-v)产生的效果与时间反演(t→-t)产生的一样。这是经典动力学的基本对称性,我们希望描述分布函数随时间变化的玻耳兹曼的动力学方程也能遵从这种对称性。可是它却并非如此。玻耳兹曼计算出的碰撞项对速度反演来说保持不变。有一个很简单的物理原因可以说明这一点。在玻耳兹曼的描述中无法区分朝向未来的碰撞和朝向过去的碰撞。这就是彭加勒对玻耳兹曼的推导持反对意见的基础。一个正确的计算决不能导致与其前提相矛盾的结论。正如我们已看到的那样,玻耳兹曼对于分布函数得出的动力学方程的对称性质,与动力学中的对称性质是相矛盾的。因此,玻耳兹曼不可能从动力学中“推演”出熵来。他一定是引入了某种新东西,对动力学而言是外来的东西。于是,他的结果充其量也只能代表一个现象学模型,这个模型无论怎么有用,也与动力学没有直接关系。这也是泽梅洛在1896年对玻耳兹曼提出的反对意见。
  另一方面,罗施米特(Loschmidt)的反对意见使玻耳兹曼动力模型有效限度的确定成为可能。事实上,罗施米特在1876年就注意到,当发生速度反演即发生从v到-v的变换后,这个模型便不再有效了。
  我们通过一个假想实验来解释这一点。设开始时气体处于非平衡条件下,让它发生演变直到时刻t0。然后我们令速度反演。系统回到它原来的状态。结果,在t=0和t=2t0时,玻耳兹曼的熵是一样的。
  我们可以把这个假想实验扩大一下。开始时是用氢和氧的混合体,经过一段时间后就出现水。如果我们让速度反演,我们将回到初始状态,即只有氢和氧而没有水。
  有趣的是,在实验室里或在计算机上做实验时,我们实际上可以做到让速度反演。例如在图26和图27中,对二维硬球即硬圆盘计算了玻耳兹曼的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量,开始时圆盘置于具有各向同性速度分布的格点处。计算结果符合玻耳兹曼的预言。
  如果经过50或100次碰撞之后(相当于在稀薄气体中经过大约10-6秒),使速度反演,就会得到一个新的系综。现在,经过速度反演,玻耳兹曼的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量不再是减小而是增大。
《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙
  图26用计算机模拟N个“硬球”时《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量随时间的变化过程。(a)相应于N=100,(b)相应于N=484,(c)相应于N=1225。

《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙
  图27用100个“硬球”作的模拟。经过50或100次碰撞后进行速度反演时《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量的变化情况。
  在自旋回波实验或等离子体回波实验中也可以产生类似的情形。在那些实验中,经过有限的一段时间后,也可以观察到一种按玻耳兹曼的意义来说是“反热力学”的行为。
  但重要的是,要注意到,当发生反演现象的时间间隔t0越大时,速度反演实验就越难实现。
  为了能够返回原来的状态,气体必须记住它在从0到t0这一时间间隔内所遇到的每一件事。必须有一个信息的“存贮”。我们可以从粒子间的相关性这个角度来表达这个信息的存贮。我们将在第九章中再来讨论这个相关性的问题。这里只提一下这一点:相关性与碰撞之间的这个关系恰好正是玻耳兹曼没有考虑到的一个要素。当罗施米特用这一点来诘难玻耳兹曼时,他不得不承认没有出路:以相反方向发生的碰撞会把前面所做过的事都抵消掉,而系统只得返回到它的初始状态。因此,《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙函数必须也增大,直到再次达到它的初始值为止。于是,速度反演要求能区分玻耳兹曼推理适用的场合和不适用的场合。
  问题一经提出(在1894年),就很容易识别这个局限性的本性。玻耳兹曼统计过程的有效性取决于假定分子在碰撞前的行为是彼此无关的。这个关于初始条件的假定称为“分子混沌”假定。由速度反演建立的初始条件不服从这一假定。如果使系统“在时间上倒转回去”,将产生一种新的“异常”状态,就是说,某些分子在后来的某一可以预先确定的时刻注定要相碰,并在那个时刻注定要发生一个预先确定的速度变化,而不论在速度反演的那一瞬间它们可能隔开多远。
  所以说,速度反演产生一个非常有组织的系统,因而“分子混沌”的假定在这里无效了。各个不同的碰撞却产生出一种外表看来是很有目的性的行为,就好像是通过事先建立起来的协调而实现的。
  但是问题还不止于此。从有序向无序的过渡有什么意义呢?在埃伦费斯特的罐子实验中,这很清楚——系统将发生演变直至达到均匀为止。可是其他情形就不是那样清楚了;我们可以用计算机做实验,实验中相互作用着的粒子最初是随机分布的,最后形成格子。我们还要从有序向无序运动吗?答案是不明显的。为了理解有序和无序,首先我们必须定义一些对象,通过这些对象才能使用有序和无序这些概念。在稀薄气体的情形中,从动力学对象到热力学对象的运动是容易的,这已为玻耳兹曼的工作所表明。但是在致密系统的情形中(其中的分子是相互作用着的),这样做就不那么容易了。
  由于这些困难,玻耳兹曼的有创见的开拓性工作仍是不完备的。
  8.4动力学和热力学:两个分离的世界
  我们已经注意到,轨道是与不可逆性的思想不相容的。但是对轨道的研究并不是我们能够给出动力学表述的唯一途径。此外还有由吉布斯和爱因斯坦引进的系综的理论,当系统是由大量分子所组成的时候,系综理论有其特殊的意义。吉布斯-爱因斯坦系综理论中主要的新因素就是可以与初始条件的任何精确说明完全无关地去表述动力学理论。
  系综理论在“相空间”中表示动力学系统。一个点粒子的动力学态是用位置(一个有三个分量的向量)和动量(也是一个有三个分量的向量)来说明的。我们可以用两个在三维空间中的点或一个在六维空间(由坐标和动量组成)中的点来代表这个态。这就是相空间。这种几何的表示方式可以推广到由n个粒子组成的任意系统。那时我们将需要6×n个数来说明这个系统的状态,或者说,我们可以用6n维相空间中的一个点来说明这个系统。然后就可以用这个相空间中的一条轨道去描述系统随时间的变化过程。
  我们已经讲过,一个宏观系统的确切的初始条件是永远不会知道的。虽然如此,却没有什么东西能妨碍我们用一些点(这些点对应于各种不同的动力学态,而这些态则是与我们已知的关于该系统的信息相容的)的“系综”去表示这个系统。相空间的每个区域可以包含无穷多个代表点,点的密度就量度着在该区域中实际发现该系统的概率。更为便利的是不引进无穷多个离散点,而引进相空间中的代表点的连续密度分布。我们把相空间中的这个密度记作p(q1,…,q3n,p1,…,p3n),其中q1,q2,…,q3n是这n个点的坐标,p1,p2,…,p3n是动量(每个点有三个坐标和三个动量)。这密度就量度着在相空间中点q1,…,q3n,p1,…,p3n的周围发现一个动力学系统的概率。
  按照上述提法,密度函数ρ可以看作是一种理想化,一种人为的结构。而相空间中一点的轨道则是“直接”与“自然”行为的描述相对应的。可是事实上正是点而并非密度对应于一种理想化。确实,我们从来未曾无限精确地知道初始状态,以便能把相空间中的一个区域压缩为一个点;我们只能确定从和我们对该系统的初态所知道的情况相对应的代表点的系综出发的轨道的系综。密度函数ρ代表了对一个系统的了解,了解得越精确,则相空间中密度函数不为零而系统可能被找到的区域就越小。假如各处的密度函数具有某个一致的值,那末我们关于该系统的状态便什么也不知道。系统可能处于与它的动力学结构相容的任何一种可能态中。
  根据这种观点,一个点便代表了我们对于一个系统所可能有的最大了解。这是一个极限过程的结果,是我们的了解越来越精确的结果。正如我们将在第九章中看到的,一个基本的问题是确定一个极限过程在何时是真正可能的。由于精确程度的不断提高,这个过程的含义就是我们从一个密度函数ρ不为0的区域走向另一个更小的且在前一个区域之内的区域。我们可以把这个过程继续下去,直到包含着该系统的区域达到任意小。不过正如我们将要看到的,必须注意:任意小并不意味着0,不能先验地肯定这个极限过程将导致坚定地预言出一条确定轨道的可能性。
  吉布斯和爱因斯坦引进的系综理论,是玻耳兹曼工作的自然继续。根据这种观点,相空间中的密度函数ρ取代了玻耳兹曼所使用的速度分布函数f。但是ρ的物理内容超过了f。和f一样,密度函数ρ也确定了速度分布情况,可是它还包含有其他信息,比如相隔一定距离的两个粒子相遇的概率。特别是,上一节中我们讨论过的粒子间的关系现在包含在密度函数ρ中。事实上,这个函数包含了有关n体系统的全部统计特性的完整信息。
  现在我们必须描述相空间中密度函数的演变过程。初看起来,这任务好像是比玻耳兹曼给自己提出的关于速度分布函数的任务还要雄心勃勃,其实并非如此。第二章中讨论过的哈密顿方程使我们能够不经过什么进一步的近似就得到有关ρ变化情况的确切方程。这就是所谓的刘维方程,我们将在第九章中再去讲它。这里我们只想指出,根据哈密顿动力学的性质,相空间中密度函数ρ的演化是一种不可压缩的流体的演化。一旦由代表点占据了相空间里一个体积为V的区域,这个体积就将在时间改变时维持恒定。这个区域的形状可以任意改变,但体积的值保持相同(参阅图28)。

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  图28一个含有某系统代表点的“体积”在相空间中随时间的变化情况:形状改变而体积不变。在相空间中的位置则由坐标q和动量p来说明。
  于是,吉布斯的系综理论使我们能够把统计学观点(研究用ρ来描述的“群体”)和动力学定律严格地结合起来。它还使我们能给出热力学平衡态的一个更为精确的表示。因此,在一个孤立系统的情形中,这个代表点的系综对应于一切具有相同能量E的那些系统。只有在对应于相空间里指定能量值的“微正则表面”上,密度ρ才不为0。起初,密度ρ可以任意分布在这个表面上。在平衡时,ρ必须不再随时间而变动,而且一定与具体的初始状态无关。所以从ρ的演变来看,趋向平衡有一个简单的含义。在微正则表面上,分布函数ρ成为均匀的。这个表面上的每个点都有同样的实际代表该系统的概率。这对应于“微正则系综”。
  系综理论能使我们更接近于解决不可逆性的问题吗?玻耳兹曼的理论以速度分布函数f来描述热力学的熵。通过引进他的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量,他得出了这个结果。正如我们已看到的那样,系统随时间变化直至达到麦克斯韦分布,而在这个变化过程中,《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量均匀地减小。现在我们能不能以更一般的形式把相空间中的分布ρ向着微正则系综的变化当作熵增大的基础呢?把用f来表达的玻耳兹曼量《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙代之以一个用完全同样的方式不过这一次是用ρ来定义的吉布斯量《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙,是不是就足以解决这个问题呢?不幸,对这两个问题的回答都是:“否。”如果我们使用描述相空间密度ρ的演化过程的刘维方程,并且考虑到上面提到过的相空间里体积保持不变的特性,那末立即就可以得出结论:《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙是一个常量,所以它不能代表熵。比起玻耳兹曼来,这似乎是倒退了一步,而不是前进了一步!
  尽管如此,吉布斯的结论仍然有非常重要的意义。我们已经讨论过有序与无序的思想的含糊性。《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量的恒定性告诉我们,在动力学理论的框架之内,从来就没有任何秩序的变化!由《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙所表达的“信息”保持不变。这一点可以理解如下:我们已经知道,碰撞引进了相关性。从速度的角度来看,碰撞的结果就是随机化;所以我们可以把这个过程描述为一种从有序到无序的过渡,但由于碰撞而得到的相关性的出现却指向相反的方向,即向着由无序到有序的过渡!吉布斯的结果表明,这两种作用正好互相抵消。
  因此,我们得出一个重要的结论。无论我们使用什么样的表示方法,是轨道思想,还是吉布斯-爱因斯坦系综理论,我们都不可能推演出一种对每一个满足经典(或量子)动力学定律的系统都有效的不可逆过程理论。甚至无法说从有序到无序的过渡!我们该怎样理解这些否定性的结论呢?任何不可逆过程理论都是和动力学(经典的或量子的)绝对冲突的吗?人们多次建议,我们可以加上一些宇宙学的项,用来表达膨胀着的宇宙对运动方程的影响。这些宇宙学项最终将提供时间之矢。但是这种建议却难以接受。一方面,对我们该怎样加上这些项是不清楚的;而且精确的动力学实验似乎排斥这些项的存在,至少在我们这里所关心的地球的尺度上是如此(试想一下,比如航天实验的精确性,它高度地肯定了牛顿方程)。另一方面,如同我们已讲过的那样,我们是生活在一个多元论的宇宙之中,其中可逆与不可逆过程并存,都镶嵌在这个膨胀着的宇宙中。
  一个甚至更为根本的结论是要和爱因斯坦一道肯定:时间作为一种不可逆性只是个幻觉,根本不可能在客观物理世界中找到它的位置。幸而还有别的出路,我们将在第九章中加以探讨。我们反覆提到的不可逆性不是一个普适的性质,因此不能指望从动力学中得到不可逆性的一般推导。
  吉布斯的系综理论对于轨道动力学来说只是引进了一个附加因素,然而是非常重要的因素——我们对精确初始条件的无知。未必这种无知单独导致不可逆性。
  因此我们不会对我们的失败感到奇怪。我们还没有表述出动力学系统为了导致不可逆过程而必须具有的一些特性。
  为什么有那么多的科学家如此轻易地接受了对于不可逆性的主观解释呢?可能它的一部分吸引力在于这样的事实:如我们已看到的,熵的不可逆增大首先是和操作的不完善相联系的,是和我们对于那些本来按理想来说是可逆的操作缺乏控制相联系的。
  但是只要把与技术问题的不相干联系撇在一旁,上面这种解释就成为荒唐的了。我们想必还记得,第二定律是在怎样的场合获得作为自然的时间之矢的重要意义的。按照主观的解释,化学亲和力、热传导、粘滞性等等这一切与不可逆的熵产生相联系的性质都和观测者有关。还不止于此,起源于不可逆性的组织现象在生物学中起作用的程度,使我们不能再把它们认为是由于我们的无知而产生的简单幻觉。我们自身——活生生的能够观察和操作的生物——只是由我们的不完善的感觉所产生的虚构之物吗?生与死之间的区别难道也仅仅是幻觉吗?
  因此,热力学理论近来的发展已经加剧了动力学与热力学之间的冲突。当熵的建设性作用已被理解,涨落放大的可能性已被发现的时候,还试图把热力学的成果缩小成只不过是由于我们认识不完备而引起的近似,看来就是执迷不悟了。反之,也很难以不可逆性的名义摈弃动力学:在一个理想摆的运动中就没有不可逆性。显然,有着两个对立的世界,一个轨道世界和一个过程世界,而且没有什么办法肯定一个而否定另一个。
  在一定程度上,这个冲突和引起辩证唯物主义产生的那场冲突有些类似。我们已经在第五和第六章中叙述过一个可以称为“历史的”的自然,就是说能够发展和创新的自然。自然史的思想作为唯物主义的一个完整部分,是马克思所断言,并由恩格斯所详细论述过的。当代物理学的发展,不可逆性所起的建设性作用的发现,在自然科学中提出了一个早已由唯物主义者提出的问题。对他们来说,认识自然就意味着把自然界理解为能产生人类和人类社会的自然界。
  而且,在恩格斯写作《自然辩证法》一书的那个时代,物理科学看来已经摈弃了机械论的世界观,而更接近于自然界的历史发展的思想。恩格斯谈到了三大主要发现:能量及支配其性质转换的定律,作为生命的基本组成部分的细胞,和达尔文关于物种进化的发现。鉴于这些伟大的发现,恩格斯得出结论:机械论的世界观已经死亡。
  但是机械论却依然是辩证唯物主义面临的基本难题。辩证法的普遍规律与同样普适的机械运动定律之间的关系是什么?机械运动定律是在达到一定的阶段之后就不再适用了呢,还是它们本来就是虚假的或不完备的?回到我们先前的那个问题,过程世界和轨道世界如何才能联系在一起呢?
  不过,批判关于不可逆性的主观主义解释并指出它的弱点,这是容易的;而超出它的范围之外,表述一种不可逆过程的“客观”理论,就不那么容易了。这个课题的历史上有过一些戏剧性的插曲。许多人相信,也许就是由于认识了所遇到的这些根本困难,才导致玻耳兹曼在1906年的自杀。
  8.5玻耳兹曼和时间之矢
  我们已经注意到,玻耳兹曼起初以为他能够证明,动力学系统朝着高概率或高配容数状态的演化确定了时间之矢:即配容数随着时间单向地增大。我们也讨论过彭加勒和泽梅洛的反对意见。彭加勒证明了每个封闭的动力学系统在一定的时候返回到它原先的状态。因此,所有的状态永远在重现。像“时间之矢”这样一个东西如何能与熵的增大联系起来呢?这导致玻耳兹曼的态度上的一个戏剧性的转变。他放弃了证明有一个客观的时间之矢存在的打算,而引入了另外一种思想,这思想在某种意义上把熵增大定律约化成一种同义反覆。现在他认为时间之矢不过是一种约定,是我们(或许可以说是所有活着的生物)把它引进到一个在过去与未来之间没有客观差别的世界中来的。我们引用一下玻耳兹曼回答泽梅洛的话:
  我们有两种可以选择的图式。或者,我们假定整个宇宙在当前时刻处于非常不可几的状态。或者,我们假定这个不可几状态持续的千秋万代和从这里到天狼星的距离,与整个宇宙的年龄和尺寸相比是微乎其微的。这样的宇宙从整体上说是处于热平衡态,因而是死的。在这样的宇宙中,到处都可以发现一个个相对来说比较小(具有我们银河系的尺寸)的区域,这些区域(我们可以称之为一个个“世界”)在一段段相对来说比较短(比起“千秋万代”来)的时间里显著地偏离热平衡态。在这些世界中间,它们的状态的概率(亦即熵)不时地增大着,并同样不时地减小着。在整个宇宙中,时间的两个方向是不能区分的,就好像在空间中不能区分上或下一样。但是,恰似在地球表面的某个地方我们可以把指向地心的方向称为“下”那样,一个发现自己在某一时期处在这样一个“世界”内的活着的有机体,可以把时间的“方向”定义为从小概率态走向大概率态(前者称为“过去”,后者称为“未来”)。而且依照这个定义他会发现,他自己那个与宇宙其余地方隔开的小区域“起初”总是处于一个不可几状态。我以为这个观察事物的方法是使我们能理解第二定律的有效性和每个个别世界的热寂现象而不必求助于整个宇宙从一个确定的初态向一个终态的单方向变化的唯一方法。
  参考一下卡尔·波普尔提供的一张图(图29),可以使玻耳兹曼的思想变得更清晰。时间之矢是任意的,像由重力场确定的垂直方向一样。

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  图29波普尔用来表示玻耳兹曼关于时间之矢的宇宙学解释(见正文)的示意图。
  波普尔在评论玻耳兹曼的文章时写道:
  我认为,玻耳兹曼的思想以其大胆和漂亮而使人震惊。但是我也认为,这是很难站得住脚的,至少对一个现实主义者来说是这样。它把单方向的变化贬为一种幻觉。这就使广岛的大灾难成为一种幻觉,因而使我们的世界以及我们对我们这个世界要更多地发现的一切努力也都成为幻觉。因而它像每一种唯心论一样,自己打败了自己。玻耳兹曼的唯心主义的特别假设是和他自己的现实主义的和近乎激烈地坚持过的反唯心主义的哲学相冲突的,是和他的强烈的求知欲望相冲突的。
  我们完全赞成波普尔的评论,而且我们相信,该是把玻耳兹曼的任务重新担当起来的时候了。正如我们已经说过的那样,二十世纪已经看到了理论物理学中重大的概念革命,这产生了把动力学和热力学统一起来的新的希望。我们正在进入一个在时间史中的新纪元,在这里,存在和演化这二者可以归并到一个单一的不矛盾的观点中去。

9不可逆性——熵垒

  9.1熵和时间之矢
  在上一章,我们讨论了不可逆过程的微观理论中的一些难题。这理论与经典动力学或量子动力学的关系不可能是简单的——不可逆性和伴随着它的熵增大现象都不可能是动力学的一般结果。不可逆过程的微观理论还需要另外的更为特殊的条件。我们必须承认有一个多元论的世界,在这个世界中,可逆过程与不可逆过程并存着。但是这样一个世界是不容易被接受的。
  伏尔泰在他的《哲学词典》中就命运的问题写道:
  ……一切都受到不变规律的支配……每一件事都是事先安排好的……每一件事都是必然的结果。……有一些人被这个真理吓住了,他们只承认它的一半,就像那些还了一半债给债权人而请求再延长一些时间去还清其余部分的债务人一样。他们说,有一些事件是必然的,而另一些不是。如果已经发生的事情中只有一部分是必然要发生的而另一部分却不是,那是很奇怪的。……我当然要有热情来写下这一点,你也必须要有激情来谴责我;你我都同样是傻瓜,是命运手中的玩物。你的天性是作恶,而我的天性是热爱真理,而且不管你怎样,我也要把它公开发表出来。
  无论这些先验的论断听上去多么有说服力,它们只会把我们引向歧途。伏尔泰的推理方法是牛顿式的:自然界总是自行其是。但奇怪的是,今天我们发现我们自己是在一个伏尔泰嘲笑过的奇怪的世界中;我们为发现了自然界呈现的性质上的差异而惊讶不已。
  人们在两个极端之间犹豫不决,这一点也不奇怪。它们之中一个是如我们已经提到过的由爱因斯坦提倡的在物理学中根本排除不可逆性,另一个则是像在怀特海的过程概念中那样强调不可逆性的重要性。正如我们在第五和第六章中所表明的那样,不可逆性无疑在宏观层次上存在着,而且有着重要的建设性作用。因此,在微观世界里一定有着某种东西,它的表现就是宏观的不可逆性。
  微观理论必须说明两个紧密相连的因素。首先我们必须按照玻耳兹曼那样,试着为随时间而均匀变化的熵(或玻耳兹曼的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙函数)构造一个微观模型。这个熵的变化必须确定我们的时间之矢。对于孤立系统来说,熵的增大一定是表示系统在变老。
  在不能把熵同所考虑的那种类型的过程联系起来的情况下,我们常常也可以有一个时间之矢。波普尔提出了一个有单向过程(即有时间之矢)的系统的简单例子。
  设有一部影片,拍摄的是一片大的水面,起初该水面是平静的,然后落入了一块石头。把该影片倒过来放映,就会看到一些逐渐收缩的同心圆状的波,其振幅逐渐增大。而且紧接着最高的波峰之后,会看到水面无扰动的一个圆形区域逐渐向圆心收拢。不能把这看作是一个可能的经典过程。假如这个过程可能发生,那末它将需要巨大数目的远程相干波发生器,而且为了能够被说明,这些波的相互协调必须在影片中表现得就像是起源于一个中心。但是,当我们试着倒映这个修改过的影片时,又恰恰产生同样的困难。
  的确,无论用什么技术手段,总有一个与中心相隔的距离,在这个距离之外,我们是无法产生一个收缩波的。有一些单方向的过程。波普尔提出的那种类型的其他许多过程也可以想象得到:我们从来不会看到能量从四面八方聚集到一个星球上,伴随着吸收这些能量的反向核反应。
  除此之外,还存在着其他的时间之矢——例如宇宙学矢(见M.加德纳所作的出色的说明)。如果我们假定宇宙是从大爆炸开始的,这显然隐含着在宇观层次上的一种时间秩序。宇宙的大小在持续地增长着,但我们并不能用熵来判定宇宙的半径。的确,像我们提到的那样,在这个不断膨胀的宇宙里我们既看到了可逆过程也看到了不可逆过程。同样,在基本粒子物理学中存在着呈现所谓T-违反的过程。T-违反的意思就是指描述系统在+t时的演变的方程与描述系统在-t时的演变的方程是不同的。但是,这个T-违反并不妨碍我们把它也归入通常的(哈密顿的)动力学表述中去。任何熵函数都不能被定义为T-违反的结果。
  这使我们回想起1909年发表的爱因斯坦和里茨(Ritz)之间的著名的讨论。这是一篇极不寻常的论文,它非常短,还不满一页。它简直就是一篇不同意见的声明。爱因斯坦断言,不可逆性是玻耳兹曼引进的概率概念的一种后果。相反,里茨宣称:“滞后”波和“超前”波之间的差别起着主要作用。这个差别使我们想起波普尔的论证。我们在池塘里看到的波就是滞后波,它们是随在石头被投入水中之后发生的。
  爱因斯坦和里茨都把一些根本性的因素引进有关不可逆性的讨论中,但他们各自都只强调了事情的一部分。我们在第八章中已经提到过,概率事先假定了一个时间方向,所以不能用来导出时间之矢。我们也已提到过,排除了像超前波那样的过程也未必能导出第二定律的表述。我们同时需要这两种主张。
  9.2作为对称破缺过程的不可逆性
  在讨论不可逆性问题之前,有必要回忆一下,另一种对称破缺即空间对称破缺怎么能被推导出来。在描述反应扩散系统的方程中,左和右起着同样的作用(当我们实行空间反演r→-r时,扩散方程保持不变)。但是,正如我们已经看到的那样,在分叉可能导出的一些解中,这个对称性是破缺的(见第五章)。例如,某些成分的浓度可能变得在左边比在右边要高一些。方程的对称仅要求对称破缺的解成对地出现。
  当然,有许多反应扩散方程不呈现分叉,因而也就不会打破空间对称性。打破空间对称需要有其他一些非常特殊的条件。这对于理解那些我们在此主要感兴趣的时间对称破缺问题是很有用处的。我们必须找出这样一些系统,它们的运动方程可能实现较低对称性。
  对于时间反演t→-t,方程确实是不变的。但方程的实现却可以与丢失这种对称性的演变相对应。由方程的对称性所加上的唯一条件就是这种实现要以成对的方式出现。例如,如果我们找到一个在很远的未来(不是很远的过去)达到平衡的解,那末我们也应当找到一个在很远的过去(不是很远的未来)达到平衡的解。对称破缺的解是成对出现的。
  一旦我们找到了这样一种情况,我们就能表达第二定律的内在含义了。它变成了一个选择原则,即在两类解中只有一类可以实现,或说可能在自然界中被观察到。在第二定律适用的所有场合,它都表达了自然界的一种内在的极化。它永远不可能是动力学本身的结果。它只能作为一种附加的选择原则而出现,它的实现是被动力学传播出来的。仅在几年之前,试图实现这样的计划似乎还是不可能的。但是几十年来,动力学已经有了显著的进步。现在我们已经能够详细地了解,这些对称破缺解是怎样在“足够复杂”的动力学系统中显现出来的,由热力学第二定律表达的选择原则在微观层次上究竟意味着什么。这正是我们在本章的以后部分想要介绍的。
  9.3经典概念的局限性
  让我们从经典力学开始。正如我们已经提到过的,如果轨道就是基本的不可约化的元素,那末世界就如同构成它的轨道一样是可逆的。在这种描述中没有熵,也没有时间之矢;但是由于出人意料的近年来研究的结果,轨道概念的有效程度要比我们本来预想的还更有限得多。让我们回过头来看一看在第八章中介绍过的吉布斯和爱因斯坦的系综理论。我们已经看到,吉布斯和爱因斯坦把相空间引入物理学,以便说明我们不“知道”由大量粒子构成的系统的初始状态这样一个事实。在他们看来,相空间中的分布函数仅仅是一个辅助结构,用以表明我们对于一种在道理上确定的状态在实际上的无知。但是,一旦能够表明对某些类型的系统无限精确地确定初始条件会导致自相矛盾的过程,整个问题就会具有新的维。一旦如此,我们从来不知道单一轨道而只知道一组轨道(即相空间中的一个轨道系综)这个事实就不单单表明我们知识上的局限性,它还成为研究动力学的一条新途径的起点。
  确实,在简单情况下没有什么问题。让我们举一个摆的例子。根据初始条件的不同,这个摆可能振荡,也可能绕轴旋转。如果要它旋转,它的动能必须足够大,使它在达到垂直位置之前不至于“下落回去”。这两种类型的运动确定了相空间中两个不相连的区域。其原因很简单,旋转比振荡需要更多的能量(见图30)。
  如果我们的测量允许我们设定系统起初是在一个给定的
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  图30一个摆在空间运动情况的示意。图中V是速度,θ是偏转角。(a)在(V,θ)空间的典型轨道;(b)阴影区域对应于振荡,其余部分对应于旋转。区域之内,我们就可以满有把握地预言这个摆将要表现出的运动形式。我们可以提高测量精度并把摆的初始状态限定在前一区域范围内的一个更小的区域中。无论如何,我们都知道系统在每时每刻的行为,不会发生任何新的料想不到的事情。
  二十世纪所完成的最惊人的成果之一却是上面那种论断在一般情况下并不正确。相反,“大多数”动力学系统是以相当不稳定的方式行动的。我们用+表示一种轨道(例如振荡轨道),而用*表示另一种轨道(例如和旋转相应的轨道)。结果我们发现,在一般情况下,并不像图30中那样有两个分开的区域,而是有一种混合状态,使得向单个点的过渡成为含糊的(见图31)。如果我们只知道我们系统的初始状态是在区域A中,那我们还不能推定它的轨道是+型的;它同样可能是

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  图31一个呈现动力学不稳定性的系统的相空间V的任意小的任一区域的示意图。和摆的例子一样,有两种类型的轨道(这里用+和*来表示);但是和摆不一样,在每个任意小的区域内都出现这两种运动。*型的。即使我们把区域A缩小为它其中的一个更小的区域以提高精度,我们也不会有什么别的结果,因为不确定性依然如故。在无论多么小的每个区域里,总是有属于这两种轨道中的每一种的状态。
  对于这样的系统,轨道变成了不可观察的。这种不稳定性表明了牛顿理想化的局限性。牛顿动力学两大基本要素即动力学定律和初始条件的独立性被破坏了:动力学定律陷入了和初始条件的确定相冲突的境地。我们可以回想一下阿那克萨哥拉考虑自然界那丰富多采的创造力的方式。他认为各种事物在它的每一个部分内都包含着无穷多的不同性质的种子。我们这里也是如此,相空间的每个区域都保持着丰富多采的不同性质的行为。
  从这种观点来看,决定论的轨道好像只有有限的适用性。由于我们不仅在实践上而且在理论上不能利用轨道来描述一个系统,而不得不运用相空间中有限的小区域所对应的分布函数,所以我们只能预言系统的统计性的未来。
  我们的朋友利昂·罗森菲尔德常说,概念只能通过其局限性被理解。在这个意义上讲,我们现在看来算是对经典力学有了一个较好的理解了,经典力学的表述为近代科学铺平了道路。
  但是,这个新观点是如何出现的呢?这里我们不得不叙述一下动力学在本世纪内所经历过的戏剧性的变化。尽管动力学被看作是知识的一个完备、封闭分支的原型,但在实际上它已经被完全改造了。
  9.4动力学的更新
  在本书的第一部分,我们提供了十九世纪时对动力学的那种表述。这是至今在许多教科书中仍然采用的表达方式。动力学系统的原型是可积系统。为了解出运动方程,我们只需找出“好”的坐标,使得相应的时刻是运动不变量。运动实体间的相互作用以这种方式被消除。但是,这个计划失败了。我们已经提到过,在十九世纪末,布伦斯和彭加勒证明了大多数动力学系统(从著名的“三体”问题开始)都是不可积的。
  另一方面,正是那个按系综理论来说明的趋向平衡态的思想,要求我们超出可积系统的理想化之外。如在第八章中所看到的,按照系综理论,当一个孤立系统可以用一个“微正则系综”来代表,即给定能量表面上的所有点都有同样的概率时,系统是处于平衡态的。这意味着一个系统要向平衡态演变,能量必须是在系统演变过程中唯一守恒的量。它必须是唯一的“不变量”。无论初始条件是什么,系统的演变必须使它能达到给定能量表面上的所有点。可是对于一个可积系统来说,能量远不是唯一的不变量。事实上,由于每个广义动量都保持不变,所以有多少个自由度,就有多少个不变量。于是我们不得不指望,这样的系统被“囚禁”在恒定能量表面的一个很小的“部分”之内,而这恒定能量表面是由所有这些不变量表面的相交组成的(见图32)。
  为了避开这些困难,麦克斯韦和玻耳兹曼引进了一种全
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  图32相空间p,q内一个小格子的时间演变。小格子的“体积”和形状不随时间变化,而且相空间的大部分是该系统不能接近的。新的、类型大不相同的动力学系统。对这些系统而言,能量是唯一的不变量。这种系统被称为“遍历”系统(见图33)。
  伯克霍夫(Birchoff)、冯·诺伊曼、霍普夫(Hopf)、科尔莫戈罗夫(Kolmogoroff)和西奈(Sinai)以及其他许多人都对遍历系统的理论作出了重大贡献。如今,我们已经知道,有一大类一大类的动力学系统(虽然是非哈密顿的)是遍历系统。我们还知道,甚至比较简单的系统也可能有比遍历性更强的特性。对这些系统来说,相空间中的运动成为非常混沌的(不过总是保持一定体积,这体积符合在第七章中讲过的刘维方程)。
  设我们对于初始条件的了解允许我们把一个系统定位于相空间的一个小格子中。在它的演变过程中,我们会看到这
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  图33与遍历系统相应的一个小格子在相空间中的典型演变。随着时间的流逝,“体积”和形状保持不变,但小格子现在是沿着螺旋线穿过整个相空间。个初始的小格子扭绞曲折,像阿米巴虫那样向各个方向伸出“假足”,布下越来越细而扭绞的纤丝,直到最后侵占整个空间。什么示意图也无法对实际情况的复杂程度作出恰如其分的描述。确实,在一个混合系统的动态演变过程中,相空间中任意靠近的两个点会朝向不同的方向。即使我们拥有许多关于这个系统的信息,以致由系统的代表点形成的初始格子非常之小,动态的演变也会使这个小格子变成真正的几何“怪物”——它把纤细的丝网铺满了整个相空间(参阅图34)。
  我们打算用几个简单的例子说明稳定系统与不稳定系统
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  图34与“混合”系统相应的一个小格子在相空间中的典型演变。体积仍不变,但形状却在变:小格子逐步地布满整个相空间。之间的区别。考虑一个二维的相空间,每隔一定的时间,我们用新坐标取代原来的坐标。水平轴上的新点是p-q,而新的纵坐标是p。图35表明当我们对一个正方形作这样的处理时会发生什么情况。
  正方形发生了变形,但六次变换后我们又回到原来的正方形。系统是稳定的:相邻的点经变换后仍是相邻的点。而且它对应于一种循环的变形(经过六次操作之后,又呈现为原来的正方形)。
  现在我们再来考虑两个非常不稳定系统的例子——第一
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  图35由离散变换造成的相空间中一个体积的变形:横坐标p变为p-q,纵坐标q变为p。变形是循环的,每变换六次就又恢复为初始的格子。个是数学的,第二个则明显地具有物理的关联。第一个系统包含的变换由于明显的原因被数学家们称为“面包师变换”。我们先取一个正方形,然后把它弄扁而成一个矩形,再把这矩形的一半折叠在另一半之上,又形成一个正方形。这一组操作如图36所示,且可以重复任意多次。
  每次正方形的表面被打破并重新分布。在这里,正方形对应着相空间。面包师变换把每个点都变成确定的新点。虽然以这种方式得到的一系列点都是“决定论”的,但系统还是表现出不可约化地统计学的方面。比如我们看一个系统,它
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  图36面包师变换(B)和它的逆变换(B-1)的实现。两个斑点的路径给出对变换的说明。的初始条件是正方形的区域A由代表点均匀地填充。我们可以证明,将上述变换重复足够次数之后,这个小格子(无论它的大小和位置如何)将会被打破成碎块(见图37)。重要的是,任何区域(不论其大小如何)总是包含不同的发散到每个碎块去的轨道。尽管一个点的演变是可逆的、决定论的,但对无论怎样小的区域的描述基本上是统计学的。
  一个类似的例子是硬球的散射。我们可以考虑从一组随机分布的大球上反弹回来的一个小球,大球假定是固定的。物理学家对这个模型以伟大的荷兰物理学家亨德里克·安东·洛伦兹的姓来命名,称为“洛伦兹模型”(参阅图38)。
  运动小球的轨道是确定的。但是,只要我们在初始条件中引进一个极小的不确定性,经过一系列的碰撞,这个不确定性就会变得很大。经过一段时间,在一给定的体积内找到
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  图37一个不稳定系统的时间演变过程。随着时间的流逝,区域A分成区域A′和A″,而A′和A″本身又继续被分裂。小球的概率就变成均匀的了。无论变换次数有多少,我们再也回不到原来的状态了。
  在上面这两个例子中,我们得出强不稳定的动力学系统。这一情形使人想起在热力学系统中出现的那种不稳定性(见第五章)。初始条件中任意小的区别都会被放大。结果是我们再也不能形成从相空间中的系综到各单个轨道的过渡。用系综去进行描述必须成为出发点。统计学概念不再仅仅是关于“客观真实性”的一个近似。面对着这些不稳定系统,拉普拉斯妖也和我们一样无能为力。
  爱因斯坦说过一句名言:“上帝不掷骰子。”按同样的精神,彭加勒说过,对于一个高级的数学家而言,没有什么位置是留给概率的。但正是彭加勒自己勾画出了通向这个问题的答案的路径。他注意到,当我们掷骰子和使用概率计算方法
《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙
  图38一个从大球上反弹回来的小球的轨道的不稳定性示意图。小球的初始位置有一点点不精确就会使我们无法预言在第一次碰撞后小球将打到哪一个大球上。时,并非意味着我们假定动力学是错误的。它意味着某些相当不同的东西。我们使用概率的概念,是因为对应于初始条件的每一差别(当然是很小的),有着同样“多”条轨道通向骰子的每一面。这正是不稳定动力学系统所发生的情形。上帝如果愿意,他可以计算一个不稳定动力学世界中的轨道。他会得到像我们经过概率计算所得到的同样的结果。当然,如果他使用他那绝对的智慧的话,是会免除一切随机性的。
  总之,在不稳定性和概率之间有着密切的关系。这是很重要的一点,我们现在就来加以讨论。
  9.5从随机性到不可逆性
  设有一个接一个的正方形,我们对之施行面包师变换,如图39所示。阴影区域可以想象为充满了墨水,非阴影区域则是充满了水。在0时刻的情形可以称为“母划分”。从这个划分出发,如果我们向未来发展,就可以形成一系列水平划分;如果向过去发展,就可以形成一系列垂直划分。这些都是基本划分。墨水在正方形中的任意分布可以在形式上写成是这些基本划分的叠加。对每个基本划分,我们都可以联系上一个“内部”时间,这个时间简单说来就是从“母划分”开始到所考虑的这个划分为止的过程中我们必须实行的面包师变换的数目。所以这种类型的系统似乎允许有一种“内部年龄”。[*]

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  图39在0时刻从“母划分’开始(见正文),我们重复实行面包师变换。这样,就产生了水平条纹。类似地向过去演变,我们得到垂直条纹。
  内部时间T取决于系统的整体拓扑,所以与通常的机械时间大不相同。我们甚至可以说到“空间计时”,这接近于近年来由地理学家们提出的想法——他们引进了“年代地理学”的概念。当我们观看一个城市或一个风景区的结构时,会看到时间元素并存着和相互作用着。巴西利亚或者庞贝可能就相当于某个确定的内部年龄,有点类似于面包师变换中的某一个基本划分。相反,现代罗马的建筑物产生于各个完全不同的年代,它就对应于一个平均时间,恰似一个任意划分可以被分解为若干对应于不同内部时间的元素。
  让我们再来看图39。如果我们走向遥远的未来,会发生什么情形呢?水平的墨水带将越来越密。无论我们测量的精度是多少,经过一段时间我们总会得出结论:墨水已经均匀地分布在整个体积内了。因此,可以把这种趋向“平衡”的方式勾画成像在第八章中讨论过的马尔可夫链那样的一种随机过程,就不足为奇了。这种情况最近已经以完全的数学严谨性描述出来了,不过其结果对我们来说似乎是相当自然的。随着时间的推移,墨水的分布达到平衡,正如在第八章中讨论过的罐子实验里那些小球的分布一样。可是,当我们再次从0时刻的母划分开始,向过去观察,也会看到同样的现象。现在墨水是沿着越来越小的垂直片段分布,而且只要向过去发展得足够遥远,我们就会发现墨水也是达到均匀分布。所以我们可以得出结论:也能够用马尔可夫链来模拟这个过程,但现在是朝向过去。我们看到,从不稳定的动力学过程中可以得到两个马尔可夫链,一个在未来达到平衡,一个在过去达到平衡。
  我们相信这是使人十分感兴趣的结论,并乐于对此作出评论。内部时间向我们提供了一个新的“非局域”的描述。
  当我们知道系统的“年龄”(即相应的划分)时,仍然可以不把它与一个确定的局部轨道联系起来。
  我们只知道这个系统在一个阴影区域中(图39)。类似地,如果说我们知道与该系统中某点相对应的一些精确的初始条件,我们并不知道它所属的那个划分,不知道系统的年龄。所以对这样的系统,我们知道两种互补的描述,这情况有点使我们回想起第七章中讨论量子力学时遇到的那种情形。
  由于这另一种新的描述即非局域描述的存在,使我们能从动力学过渡到概率论。我们把可能被这样描述的系统叫做“内在随机系统”。
  在经典的决定论系统中,我们可以在相当简并的意义上使用从一个点到另一个点的转移概率。如果这两点都在同一条动力学轨道上,则转移概率为1,否则为0。
  反之,在真正的概率论中,我们需要的转移概率是0到1之间的正数。这怎么可能呢?我们在这里明显地看到对概率论的主观主义观点和客观解释之间存在的矛盾。主观主义的解释对应着的情况是不知道个别具体的轨道。而概率性(最终还有与它密切相关的不可逆性)则正是从我们的无知产生的。但幸运的是,还有另一个客观的解释:概率性是作为动力学的另一种描述、一种发生在强不稳定动力学系统中的非局域描述的结果而出现的。
  这里,可以说概率性变成从动力学内部生成的一种客观性质,它表达出动力学系统的基本结构。我们已强调过玻耳兹曼的基本发现的重要性,这就是熵和概率之间的关系。对于内在随机系统来说,概率的概念获得了动力学的含义。现在我们必须从内在随机系统向不可逆系统过渡。我们已经看到,从不稳定动力学系统可以得出两种马尔可夫链。
  我们可以按不同方式去看这种二元性。设有一个分布集中在一条线上(而不是分布在一个面上)。这条线可以是垂直的,也可以是水平的。我们来看一下当对这条线实行走向未来的面包师变换时,将会发生什么情况。结果表示在图40中。垂直的线被逐次截成短段,最后,在遥远的未来化作一点。相反,水平的线则被复制,并在遥远的未来均匀地“覆盖”整个表面。显然,如果我们走向过去,情形将正好相反。由于容易了解的理由,把垂直线称为收缩纤维,把水平线称为膨胀纤维。

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  图40面包师变换中的收缩纤维和膨胀纤维;随着时间的推移,收缩纤维A1被截短(依次是A1,B1,C1),而膨胀纤维被复制(依次是A2,B2,C2)。
  现在我们看到的是和分叉理论的完全的类比。一个收缩纤维和一个膨胀纤维对应着动力学的两种实现,每种都包含对称破缺,且是成对出现的。收缩纤维对应着在遥远的过去达到的平衡,膨胀纤维则对应着在遥远的未来达到的平衡。所以我们有指向相反时间方向的两个马尔可夫链。
  现在我们必须完成从内在随机系统向内在不可逆系统的过渡。为此我们必须更精确地弄明白收缩纤维与膨胀纤维之间的区别。我们已经看到,另一个像面包师变换那样不稳定的系统能够描述硬球的散射。这里的收缩纤维与膨胀纤维有着简单的物理解释。一个收缩纤维对应着那些在遥远的过去速度呈随机分布而在遥远的未来呈平行状态的硬球组合。一个膨胀纤维则对应着相反的状态,即速度由平行开始发展到随机分布。所以它们的区别非常类似于波普尔所举的例子中入射波与出射波之间的区别。排除收缩纤维出现的可能性就相当于这样的实验事实:无论实验家多么灵巧,他永远也不可能将系统控制得使它在经过任意次碰撞后产生出平行的速度来。一旦排除了收缩纤维,就只剩下已引进的两种可能的马尔可夫链中的一种了。换句话说就是,第二定律成了初始条件的一种选择原则。只有那些在未来能达到平衡的初始条件被保留下来。
  显然,这个选择原则的有效性由动力学保持着。在面包师变换的例子中很容易看出,收缩纤维在任何时候都仍然是收缩纤维,膨胀纤维也是这样。通过抑制这两种马尔可夫链中的一种,我们就能够从一个内在随机系统过渡到一个内在不可逆系统。在不可逆性的描述中,我们发现有三个基本要素:
  不稳定性
  ↑
  内在随机性
  ↑
  内在不可逆性内在不可逆性是最强的特性:它隐含着随机性和不稳定性。
  这个结论怎样和动力学相容呢?正如我们已经看到的那样,在动力学中“信息”是被保存的,而在马尔可夫链中信息被丢失了(因此熵是增大的;见第八章)。但是并没有矛盾;当我们从面包师变换的动力学描述进到热力学描述时,必须修改我们的分布函数;我们说熵增大的时候所考虑的“对象”与动力学中考虑的不一样。新的分布函数《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙对应于动力学系统的一个内在时间定向的描述。本书不可能详细叙述这个变换的数学方面。我们只强调一点,它必是非正则的(见第二章)。我们必须放弃通常的动力学描述,才能达到热力学描述。
  特别值得注意的是,存在着上述这种变换,结果使我们现在能把动力学与热力学统一起来,把存在的物理学和演化的物理学统一起来。在本章的后面部分以及结论一章中,我们还要再来讨论这些新的热力学对象。现在只强调一下,在平衡态,只要熵达到最大值,这些对象肯定是在随机地行动着。
  下述一点似乎也相当引人注意,即不稳定性把不可削减的统计学特点引入到我们的描述中,而不可逆性可以说就是从不稳定性中产生出来的。确实,在决定论的世界(其中未来和过去都包含在现在之中)里,时间之矢能意味着什么呢?正是由于未来并不包含在现在之中,而我们是从现在向未来发展的,所以时间之矢与从现在到未来的过渡相联系。我们相信,这个出自随机性的不可逆性的构成有许多后果,它们超出了科学本身,我们将在结论一章中再来讨论它们。我们先来弄清第二定律所允许的态和所禁止的态之间的区别。
  9.6熵垒
  时间以单一方向流动着,从过去走向未来。我们不可能操纵时间,不可能到过去中去遨游。从《一千零一夜》到H.G.威尔斯的《时间机器》,漫游时间这个题材一直吸引着作家们。在当代,纳伯科夫(Nabokov)的短篇小说《看看哈里昆!》(Lookatthe Harlequins!)描述了一个讲故事的人的烦恼,他发现他自己无法从一个空间方向切换到另一个方向,就像我们无法“旋转时间”一样。李约瑟在《中国科学技术史》(Scienceand Civilizationin China)一书的第五卷中,描述了中国古代炼金术士的梦想:他们的最高目标不是设法把金属变成金子,而是操纵时间,以便通过从根本上把自然衰老过程减慢下来而达到长生不老。现在我们已经能更好地理解为什么像纳伯科夫表达的那样不能“旋转时间”了。
  无限的熵垒把可能存在的初始条件与不允许的初始条件分隔开。由于这个壁垒是无限的,所以技术的进步永远也不可能克服它。我们不得不放弃有朝一日能到自己的过去去漫游一番的希望。这情况有点类似于光速给出的那道壁垒。技术的进步能使我们越来越接近光速,但是从当今的物理学观点看,我们永远无法超越光速。
  为了弄清这个壁垒的由来,让我们还是再看一看出现在马尔可夫链理论中的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量的表达式(见第八章)。对每一种分布,我们都能够联系上一个数——《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙的对应值。可以说每种分布都对应着一个确定的信息容量。信息容量越高,实现其相应的状态就越困难。这里我们希望说明的就是:第二定律所禁止的初始分布具有无限的信息容量。这就是为什么我们既不能实现它们也无法在自然界中找到它们的原因。
  我们先来回顾一下第八章中给出的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙的含义。我们必须把有关的相空间再分割成一些小段或小盒子。每个小盒子k对应着一个平衡时的概率Peqm(k)和一个非平衡时的概率P(k,t)。
  《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量是对P(k,t)与Peqm(k)之间差别的一种度量。当
平衡时,这二者的差别不存在了,《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量也就变为0。所以为了比较面包师变换和马尔可夫链,就必须更精确地对小盒子

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  图41膨胀纤维(A列)和收缩纤维(C列)穿过不同数目的分割面包师变换相空间的小盒子。所给的一列上的所有“正方形”都是相对于同样的时刻t=2,而分割每个正方形的小盒子的数目则取决于系统的初始时间ti。作相应的选择。设我们考虑在时刻2时的一个系统(见图39),并设它是在ti时刻起始的。于是,我们的动力学理论的一个结论就是,这些小盒子对应着在ti时刻与时刻2之间的划分的所有可能的交。如果我们现在考虑图39,就会看出,当ti朝过去后退时,小盒子会稳定地变得越来越薄,因为我们必须引进越来越多的垂直分割。这情况表示在图41的B列中,图中从上到下有ti=1,0,一1,最下面是ti=-2。确实可以看出,按这个方法,小盒子的数目从4增加到32。
  一旦有了这些小盒子,我们就可以对每个盒子比较平衡与非平衡分布。在当前情况下,所谓非平衡分布不是一个膨胀纤维(图中A列)就是一个收缩纤维(C列)。
  要注意的重要一点是:当ti朝过去倒退时,膨胀纤维占据的小盒子数目在增加着,ti=-1时它占据4个,到ti=-2时它就占据8个,如此等等。结果是,当我们应用第八章第1节给出的公式时,即使当ti→-∞时小盒子数目趋于无穷多,我们也只得到一个有限的结果。
  反之,不论ti是多少,收缩纤维总是定位在4个小盒子之内。结果是,当把《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙应用于收缩纤维,而ti向过去倒退时,《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙成为无穷大。
  总之,一个动力学系统与马尔可夫链之间的区别就在于动力学系统中小盒子的数目是无穷的。正是这个事实导致了一个选择原则。只能是那些在无穷多个小盒子的极限情况下给出有限的信息或有限的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量的度量或概率才是可准备的或可观察的。这就排除了收缩纤维。基于同样的原因,我们必须也排除那些集中于一点的分布。与不稳定系统中的单个点相对应的初始条件又对应于无限的信息,因此是不可能实现或观察的。我们再一次看到第二定律作为一种选择原则而出现。
  在经典模式中,初始条件是任意的。对于不稳定系统,已经不再是这样了。这里我们可以把每一个初始条件与一个信息容量联系在一起,而这个信息容量本身取决于系统的动力学(因为在面包师变换中我们使用小格子的逐次分割来计算信息容量)。初始条件与动力学不再是独立的了。第二定律作为一种选择原则对我们来说是如此重要,我们打算根据关联动力学给出另一种说明。
  9.7关联动力学
  我们在第八章中曾简要地讨论了速度反演实验。设有一稀薄气体,我们来考察它随时间的演变。在时刻t0,我们使每个分子实行速度反演,于是气体将回到它的初始状态。我们已经注意到,为使气体回溯其过去,就必须有一些信息的存贮,这个存贮可以用粒子之间的“关联”来描述。
  首先考虑一个正对着靶(即一个重的、不动的粒子)射去的粒子云。图42表示了这种情况。在遥远的过去,粒子之间没有关联。现在,就像在第八章中提到过的,散射有两种效果。它使粒子散开(速度分布更加对称);此外,还产生被散射粒子与散射体之间的关联。通过实行速度反演(即引进一个球面镜),可以使这些关联变得很明显。图43就代表着这种情形(图中的波纹线代表着关联)。所以散射的作用可以表示如下:在正过程中,它使速度分布得更加对称,而且产生了关
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  图42粒子的散射。起始时,所有粒子速度相同。碰撞之后,速度就不再一样了,而且被散射粒子与散射体之间有了关联(用波纹线表示)。

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  图43碰撞之后速度反演的结果:在新的“反”碰撞之后,关联被抑制,所有粒子又有了同样的速度。联;在反过程中,则是使速度分布得更少对称,而且使关联消失。可见,对关联的考虑引进了正、反过程的基本差别。
  我们可以把上述结论用于多体系统。同样可以考虑两种情形:在一种情形中,一些无关联的粒子进入且被散射,产生出有关联的粒子(见图44)。在相反的情形中,进来的是有关联的

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  图44后碰撞关联的生成(用波纹线代表),详见正文。
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  图45前碰撞关联(波纹线)经过碰撞而被破坏。粒子,经过碰撞,关联被破坏,产生出无关联的粒子(见图45)。
  在碰撞和关联的时间次序方面,这两种情形是不同的。在第一种情况下,我们有“后碰撞”关联。让我们先记住前碰撞关联和后碰撞关联之间的区别,再来看看速度反演实验。我们从t=0开始,且初始条件对应于粒子间无关联的情况。在0→t0的这段时间里,我们有“正常”演变。碰撞使得速度分布更接近于麦克斯韦平衡分布。碰撞还生成粒子间的后碰撞关联。在时刻t0,经过速度反演之后,一个完全新的情况发生了。后碰撞关联现在转变为前碰撞关联。在t0到2t0的时间间隔内,这些前碰撞关联又消失了,速度分布又变得更少对称,而且在时刻2t0,我们又回到了无关联的状态。因此,这个系统的历史有两个阶段。在第一阶段中,碰撞被转换成关联;在第二阶段中,关联又变回为碰撞。这两种类型的过程都是与动力学的定律相容的。而且正如我们在第八章中提到的那样,动力学所描述的总“信息量”保持不变。我们也已看到,在玻耳兹曼的描述中,从时刻0到t0的演变对应着通常的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量的减小,而从t0到2t0,我们有一种反常的情形:《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量增大,熵则减小。于是我们就能够设计实验室的或计算机的实验,使得在这些实验中第二定律被违反了!在0→t0阶段中的不可逆性将受到t0→2t0阶段的“反不可逆性”的“补偿”。
  这是非常不能使人满意的。如果我们像在面包师变换中那样走向一种新的“热力学表象”,使得用这种表象可以把动力学变成一个像马尔可夫链那样的概率过程,那末所有这些困难就都不存在了。我们还必须考虑到,速度反演不是一种“自然”过程;需要把“信息”从外部给予分子,以便使它们的速度得到反演。我们需要有一种麦克斯韦妖来实行这个速度反演,而麦克斯韦妖是有代价的。我们把(概率过程的)《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量表示为一个时间的函数。在图46中就是这样做的。与玻耳兹

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  图46在速度反演实验中《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙函数随时间的变化情况:在时刻t0,速度发生反演且《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙出现间断。在时刻2t0,系统处于与时刻0相同的状态,《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量又恢复到它开始时所具有的值。在整个过程中(除时刻t0外),
《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙都是下降的。重要的是《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量在时刻t0取两个不同的值(见正文)。
曼的方法不同,在这种方法中,关联的作用在《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙的新定义中仍保留着。所以在速度反演点t0《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量有个跳跃。这是由于我们突然生成了异常的前碰撞关联,而这个关联随后必将被破坏掉。这个跳跃就对应于我们所必须付出的熵或信息的代价。
  现在我们有了第二定律的一个可信的表象:在每一时刻,
《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量都在减小(或者说熵都在增大)。只是在时刻t0有一个
例外《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量向上跳跃,而这对应于系统是开放的那个时刻。我们只能通过外来的作用使速度反演。
  还有另外一个基本要点:在时刻t0,新的《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙量有两个不同的值,一个相对于速度反演前的系统,一个相对于速度反演后的系统。这两种情形有着不同的熵。这类似于在面包师变换中当收缩纤维与膨胀纤维互为速度反演时所发生的情况。
  设在实行速度反演之前我们等待一段充分长的时间,后碰撞关联就会有一个任意大的范围,为进行速度反演而付出的熵的代价就会太大。于是速度反演需要一个太高的熵作为代价,因而将被排除掉。在物理学上说起来,这意味着第二定律排除了持久的长程前碰撞关联。
  这种与第二定律宏观描述的类比是很显著的。根据能量守恒的观点(见第四和第五章),热和功起着同样的作用;而根据第二定律的观点却不再如此。简单地说就是,功是能量的一种更为相干的形式,总可以被转换成热;但相反的转换却不可能。碰撞与关联在微观层次上有着类似的差别。根据动力学观点,碰撞与关联起着等效的作用。碰撞引起关联的发生,而关联会破坏碰撞的效果。但是有一点基本的区别。我们能够控制碰撞并产生关联,但我们却不能以某种方式控制关联,使碰撞给系统带来的效果被破坏掉。正是这个基本的区别在动力学中被漏掉了,但却能被纳入热力学。注意,热力学在任何方面都不与动力学发生冲突。它是把一个补充的基本要素加到我们对物理世界的理解中去。
  9.8作为选择原则的熵
  令人感到惊异的是,不可逆过程的微观理论与传统的宏观理论是那样地相似。在两种情况下,起初熵都具有某种负的意义。在宏观方面,它禁止某些过程,比如热量从冷处流向热处的过程。在微观方面,它禁止某些种类的初始条件。被允许和被禁止的东西之间的区别始终由动力学定律维持着。正的方面恰是出自负的方面:熵的存在总是和它的概率解释在一起。不可逆性在某一宏观层次上不再像是通过一种奇迹而出现。宏观不可逆性只不过是使我们所在的那个宇宙的时间定向极化特性变得显而易见罢了。
  正如我们反覆强调过的,在自然界中存在着一些完全可以用经典力学或量子力学定律加以描述的系统,它们的行为是可逆的。但是,我们所感兴趣的绝大多数系统,包括所有的化学系统及所有的生物学系统,在宏观层次上都是时间定向的。这决不是一种“幻觉”,这表达出在微观层次上的一种破缺的时间对称性。不可逆性要么在所有层次上都是真实的,要么就在所有层次上都是不真实的。不可逆性不能通过某种奇迹而发生,也不会通过从一个层次到另一层次的过渡而出现。
  我们也已注意到,不可逆性是另一些对称破缺的起点。例如,人们普遍承认,粒子与反粒子之间的区别只有在非平衡的世界中才能发生。这一点可以扩展到其他许多情形。不可逆性很可能通过选择适当的分叉而在螺旋空间对称的出现中也起作用。目前最活跃的研究课题之一就是如何把不可逆性“铭刻”到物质结构中去。
  读者可能已经注意到,在导出微观不可逆性时,我们一直是集中于经典动力学。但是,关联的思想以及前碰撞关联和后碰撞关联的区别的思想也都适用于量子系统。比起经典系统来,量子系统的研究更为错综复杂。一个原因是经典力学与量子力学之间的区别。即使很小的经典系统(比如那些由几个硬球组成的系统),也会呈现出内在不可逆性来。但在量子系统中,要想达到不可逆性就必须要有很大的系统才行,比如那些在液体、气体或在场论中实现的系统。对大系统的研究从数学上来说显然是困难多了,这就是为什么我们这里不在这方面进行深入讨论的原因。但是在量子理论中,情形基本上仍是同样的。由于某种形式的量子不稳定性给波函数概念带来局限性,结果也开始了不可逆性。
  此外,碰撞与关联的思想也可以用于量子理论。因此,像在经典理论中一样,第二定律不允许长程前碰撞关联的存在。
  向概率过程的过渡引进了新的实体,而且正是用这种新的实体,使第二定律可以被理解为从有序向无序的一种演变。这是一个重要的结论。第二定律导致了一种新的物质概念。现在我们来描述这个概念。
  9.9活性物质
  一旦我们把熵和一个动力学系统联系起来,就又回到了玻耳兹曼的概念:平衡态的概率最大。因此我们用来描述热力学演变过程的单元在平衡态时是以混沌的方式动作着的。反之,在近平衡态的条件下将出现关联和相干性。
  我们终于得到了我们的主要结论之一:在所有层次上,无论是宏观物理学的层次,涨落的层次,或是微观层次,非平衡是有序之源。非平衡使“有序从混沌中产生”。但是正如我们已经提到的那样,有序(或无序)的概念比所想到的还要复杂。它仅在某些极限情形(比如在稀薄气体中)才具有符合玻耳兹曼的开创性工作的简单含义。
  我们再来把用力和场对物理世界所作的动力学描述与热力学描述对比一下。如我们讲过的,我们能够设计一些计算机实验,在这些实验中,起初是随机分布的那些相互作用着的粒子构成一个点阵。动力学的解释是,通过粒子之间的力而出现有序。相反,热力学的解释是,当系统是孤立的时候,系统将达到无序,不过是以完全不同的单元(在此情况下是包含大量粒子的集体模式)来表示的无序。对我们来说似乎值得做的是,重新引进我们在第六章中用过的新词语来定义一些新的单元,从这些新单元来看,系统在平衡时是不相干的。我们称它们是“睡子”,即梦游者,因为在平衡时它们互不理睬。它们中的每一个都可以任意复杂(请想一下某种酶的复杂结构里的分子),但在平衡时它们的复杂性被转向“内部”。而在一个分子内部又有着一个强电场,不过在稀薄气体中,对于其他的分子而言,这个电场可以忽略。
  今日物理学中的主要课题之一就是基本粒子问题。但我们知道,基本粒子远远不是基本的。新的结构层次正在越来越高的能级上被发现。不过,基本粒子究竟是什么呢?行星中的地球是基本粒子吗?肯定不是,因为这个能量的一部分是在它与太阳、月亮和其他行星的相互作用中。基本粒子的概念需要一种“自治性”,按通常的概念很难描述它。以电子和光子为例,我们将面临进退两难的境地:要么没有确定的粒子(因为部分能量处于电子和质子之间),要么当我们能消除相互作用时,就又成为不相互作用的粒子了。即使我们知道如何做到这一点,看来这也是一个过分激进的步骤。电子吸收或发射光子。一种出路可能是走向过程的物理学。那时,单元或基本粒子会被定义为睡子,即在平衡时独立演变的实体。我们希望不久会有可行的实验来检验一下这个假设。如果那些和光子(或不稳定的基本粒子)相互作用的原子已经携带着一种表达自然界全局演变的时间之矢,那将是相当有吸引力的。
  今天被广泛讨论的一个课题就是宇宙演化问题。在“大爆炸”的那个瞬间附近,这个世界怎么会那样地“有序”呢?不过,如果我们希望把宇宙演变理解为逐渐从有序向无序运动的话,这个有序还是必要的。
  为了给出一个令人满意的答案,我们需要知道什么样的“睡子”能够适合于那些显示早期宇宙特征的温度和密度的极端条件。当然,热力学是不能单独解决这些问题的,动力学也不能,甚至用动力学的最精巧的形式——场论也不行。这就是为什么说动力学与热力学的统一开创了新的视野的理由。
  总之,自从一百五十年前热力学第二定律被表述时起,情况所发生的变化是惊人的。首先,原子论的观点看来与熵的概念相矛盾。玻耳兹曼试图拯救机械论世界观,其代价是把第二定律降为一种有很大实用价值却没有什么基本意义的概率陈述。我们不知道最终确切的解将是什么;但是在今天,情况根本不同了。物质不是被给出的,按当代的观点,它一定是用量子场的手段由某个更基本的概念构成的。在这个物质的构成中,热力学的概念(不可逆性,熵)具有一定的作用。
  让我们概括一下这里已经完成的工作。在第一编和第二编中强调指出了第二定律(以及与之相关的不可逆性概念)在宏观系统层次上的核心作用。
  我们在第三编中试图表明,现在我们能够超出宏观层次之外,并发现不可逆性的微观意义。
  但是,这需要在我们表达物理学基本定律的方法上有一个根本的改变。仅当丢弃经典的观点时——如在充分不稳定系统的场合那样——我们才能谈论“内在随机性”和“内在不可逆性”。
  正是对这样的系统,我们可以引进一种新的扩充的时间描述,即用算符时间T所进行的描述。像我们在面包师变换的例子中所表明的那样(第九章第5节),这个算符具有作为本征函数的相空间的划分(见图39)。
  于是,我们得到这样一种情形,它非常容易使人联想起量子力学中的情形。我们确实有两种可能的描述。或者我们为自己给出相空间中的一个点,这时我们不知道它属于哪一个划分,因而也就不知道它的内部年龄;或者我们知道它的内部年龄,但那时我们却只知道划分,而不知道该点的精确位置。
  一旦我们引进了内部时间T,我们就能用熵作为一种选择原则来从那种用分布函数ρ所做的初始描述走向一种新的描述,在这新的描述中,分布《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙具有一个满足热力学第二定律的内在的时间之矢。当函数ρ和《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙用算符时间T的本征函数加以扩展时,它们之间的基本差别就表现出来了(见第七章第3节)。在ρ中,所有的内部年龄(无论是从过去算起的,还是从未来算起的)都是对称地出现。反之,在《从混沌到有序》8 - 翘楚 - 翔宇沙龙中,则过去与未来起着不同的作用。过去是被包括在其中的,而未来却仍是不肯定的。这就是时间之矢的含义。迷人之处在于,现在在初始条件与变化规律之间出现了一个关系。一个带有某时间之矢的态出自一个规律,该规律也带有某时间之矢,并且改变了这个态,但却保持着它的时间之矢。
  我们主要地集中讨论了经典情形。但我们的分析同样适用于量子力学,那里的情况更为复杂,因为普朗克常数的存在已破坏了轨道的概念,于是也导出了一种相空间中的非局域化。所以在量子力学中,我们必须把量子的非局域化与不可逆性所产生的非局域化叠加起来。
  正如我们在第七章中所强调的那样,本世纪物理学中的两大革命相当于在物理学的基本结构中把经典力学之外的两种不可能性并起来:一种是信号传播速度不可能大于光速,一种是不可能同时测量坐标和动量。
  这第二个原理(它同样限制了我们控制物质的能力)也导致物理学基本定律结构方面的深刻变化,是并不奇怪的。
  让我们用一句谨慎的话语来结束我们这本专著的这一部分。不可逆过程的现象学理论目前已经完全建立起来。反之,不可逆过程的基本微观理论却还是相当新的。在修改本书校样的时候,正在准备一些实验以求验证这些观点。只要这些实验尚未完成,推测的成分是不可避免的。

注释:
  [*]要注意,这个内部时间(我们用T表示)事实上就是一个算符,就像在量子力学中引进的那些算符一样(见第七章)。确实,正方形的一个任意划分并没有一个很确定的时间,而只有一个“平均”时间,这平均时间与形成该划分的那些基本划分的叠加相对应。

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